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kommutierende Matrizen

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angewandte lineare Algebra

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Matrizenrechnung

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Tags: Angewandte Lineare Algebra, Elementarmatrix, Gl(n), Kommutieren, Linear Abbildung, Matrizenrechnung, skalier Matrix, Vektorraum

anjula aktiv_icon

20:39 Uhr, 19.05.2018

Hallo!

Ich habe folgendes Beispiel zu lösen:

"Es seien

A, B

in K^nxn. Diese Matrizen heißen kommutierend, falls AB = BA, Zeige: Eine Matrix

A

in K^(nxn) kommutiert genau dann mit allen Matrizen aus GL(n,K), falls A eine skalier Matrix ist.
Hinweise: Überlege zuerst, wie eine Matrix A aufgebaut sein muss, damit sie mit jenen Elementarmatrizen kommutiert, deren Elemente nur 0 und 1 sind. Jede skalare Matrix

A

in K^(nxn) kommutiert sogar mit allen Matrizen aus K^(nxn)."

Nun habe ich mir folgendes zusammengeschrieben:

- skalare Matrix: Eine Diagonalmatrix A mit Einträgen

a_{11} = a_{22} = .

= a_{\cap}

heißt skalare Matrix.
- GL(n,K): Die Menge aller linearen Bijektionen von

V

auf sich bildet bezüglich des Abbildungsproduktes eine Gruppe. Diese Gruppe heißt die allgemeine lineare Gruppe von V.
- Elementarmatrizen: Ist

s

eine für A erklärte elementare Spaltenumformung, so ist auch

s (E_{n})

erklärt. Die Spaltenvektoren dieser Matrix bilden eine Basis

B

von K^(nx1), und die Matrix

s (E_{n}) = < E_{n} \cdot, B >

beschreibt den Koordinatenwechsel von der Basis

B

zur kanonischen Basis

E_{n}

.
Ist

z

eine für A erklärte elementare Zeilenumformung, so ist auch

z (E_{m})

erklärt. Die Zeilenvektoren dieser Matrix bilden eine Basis

C ⋆

des zu K^(nx1) dualen Vektorraumes. Dazu gehört eine Basis

C

von K^(nx1). Die Matrix

z (E_{m}) = < C ⋆, E_{m} >

beschreibt den Koordinatenwechsel von der kanonischen Basis

E_{m}

zur Basis

C

Die Matrizen

s (E_{n})

und

z (E_{m})

heißen Elementarmatrizen.

Meine Überlegungen:
Die Matrix A erfüllt schon die Bedingung, dass sie eine skalare Matrix/Diagonalmatrix ist. Wenn ich nun eine Diagonalmatrix mit einer Elementarmatrix multipliziere ist sie stets kommutativ.
Bsp.

(\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{matrix})

Hier gibt

A \cdot B = B \cdot A

Das heißt A muss eben nur die Bedingung erfüllen, dass sie eine Diagonalmatrix ist, damit sie mit jenen Elementarmatrizen kommutiert, deren Elemente nur 0 und 1 sind.
Oder verwechsele ich da die Einheitsmatrix mit einer Elementarmatrix?

Ich hoffe ihr könnt mir da weiter helfen. Ich freue mich über jede Antwort/Hilfe! :-)

Lg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

ermanus aktiv_icon

22:29 Uhr, 19.05.2018

Hallo,
ich glaube du bringst da ein paar Begriffe durcheinander:
Elementarmatrizen sind in der Tat die Matrizen, die die elementaren
Zeilen- bzw. Spaltenumformungen bewirken.
Hier sind aber die sogenannten Matrizeneinheiten gemeint:

E_{11}, E_{12}, \dots, E_{n n}

E_{i j}

ist diejenige Matrix, die
an der Stelle

(i, j)

eine 1 hat und sonst lauter Nullen.
Wenn eine Matrix mit allen

n \times n

-Matrizen vertauschbar sein soll,
so muss sie insbesondere auch mit allen

E_{i j}

vertauschbar sein.
Ist nun

A = (a_{i j})

eine

n \times n

-Matrix, überlege dir,
was du aus

E_{i j} A = A E_{i j}

schließen kannst ...

Gruß ermanus

ledum aktiv_icon

22:31 Uhr, 19.05.2018

hallo
eine skalier Matrix kenne ich nicht, eine skalare Matrix ist das vielfache einer Einheitsmatrix.
eine Elementarmatrix allerdings ist nicht die Einheitsmatrix siehe in wiki , de.wikipedia.org/wiki/Elementarmatrix
wenn eine Skaliermatrix was anderes ist, musst du das definieren.
Gruß ledum

anjula aktiv_icon

16:11 Uhr, 21.05.2018

Hallo ledum! Hallo ermanus!

Vielen Dank erstmal für eure Antworten!

Es ist natürlich eine skalare Matrix gemeint, Aus welchem Grund auch immer bessert mir die Autokorrektur "skalare" andauernd auf "skalier" um. Sorry,

Ich habe nun eine Elementarmatrix aus meinen Mitschriften ausgegraben und diese mit einer *skalaren* Matrix multipliziert:

1. Bsp:

(\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix})

(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix})

2. Bsp:

(\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix})

(\begin{matrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix})

Habe beim 2. Beispiel auch alle Matrizen mit Einträgen 0 und 1 ausprobiert:

(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) .

.

und bei all diesen Matrizen gilt stets

A \cdot B = B \cdot A

Das heißt A muss die Einheitsmatrix oder ein vielfaches der Einheitsmatrix sein, damit sie kommutiert.
Hier funktioniert es, da die Elemente der Elementarmatrizen stets 1 und 0 sind. Ich habe auch andere Marine anstatt der Elementarmatrizen ausprobiert, und sie kommutieren stets mit meiner skalaren Matrix.

zB:

(\begin{matrix} 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 \\ 8 & 9 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 \\ 8 & 9 & 1 \end{matrix})

Bin ich hier auf dem richtigen Weg?

Lg

ermanus aktiv_icon

17:24 Uhr, 21.05.2018

Hallo,
dass die Skalarmatrizen mit allen Matrizen
vertauschbar sind, ist geradezu trivial.
Es geht aber hier im Wesentlichen darum zu zeigen, dass auch nur (!) diese
Vielfachen der Einheitsmatrix mit allen Matrizen vertauschbar sind.
Bzgl. der Elementarmatrizen ist es vermutlich sinnvoll,
speziell diejenigen Elementarmatrizen zu nehmenn, die auf der Diagonale eine 1
und dann noch eine 1 an anderer Stelle, sonst aber lauter Nullen haben.
Im Falle der

3 \times 3

-Matrizen wären das die Matrizen

(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}), (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}), (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}), (\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}), (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}), (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

.
Ob diese Matrizen ausreichen, weiß ich nicht.
Vielleicht muss man noch die Permutationsmatrizen (Zeilen vertauschen)
nit hinzunehmen ...

Gruß ermanus

ermanus aktiv_icon

18:00 Uhr, 21.05.2018

Im Falle

n = 3

reichen die ersten 4 von mir aufgeführten Elementarmatrizen
aus. Wenn eine

3 \times 3

-Matrix

A

mit diesen 4 Matrizen vertauschbar ist, kann
gezeigt werden, dass dann

A

notwendig eine Skalarmatrix ist.
Diesen Beweis solltest du einmal durchführen, damit du ein Gefühl
für das bekommst, was eigentlich gezeigt werden soll ...

anjula aktiv_icon

19:49 Uhr, 21.05.2018

Hallo!

Ach ja stimmt.
Oke ich habe jetzt einmal versucht es etwas allgemeiner zu machen:

A \cdot B = B \cdot A \Leftrightarrow A

skalare Matrix

"=>" Seien

A, B

aus K^(nxn).

A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{. .} & a_{1 n} \\ a_{. .} & a_{. .} & a_{. .} \\ a_{n 1} & a_{. .} & a_{n n} \end{matrix}) \cdot B = (\begin{matrix} b_{11} & b_{. .} & b_{1 n} \\ b_{. .} & b_{. .} & b_{. .} \\ b_{n 1} & b_{. .} & b_{n n} \end{matrix}) = C = (\begin{matrix} c_{11} & c_{. .} & c_{1 n} \\ c_{. .} & c_{. .} & c_{. .} \\ c_{n 1} & c_{. .} & c_{n n} \end{matrix})

B \cdot A = D = (\begin{matrix} d_{11} & d_{. .} & d_{1 n} \\ d_{. .} & d_{. .} & d_{. .} \\ d_{n 1} & d_{. .} & d_{n n} \end{matrix})

B

sei eine beliebige Elementarmatrix mit

b_{11} = b_{22} = .

= b_{n n} = b_{i j} = 1,

wobei

i \neq j

und

i, j

beliebig aber fest. Die restlichen Einträge seien

= 0

. Dann ist:

A \cdot B = C \neq B \cdot A = D \Rightarrow C \neq D

Falls wir aber die Bedingung setzen, dass

a_{11} = a_{22} = .

= a_{n n}

und die restlichen Einträge

= 0

sind:

A \cdot B = C = B \cdot A = D \Rightarrow C = D

Würde das den Fall abdecken, dass eine Elementarmatrix nur mit einer skalaren Matrix kommutiert?
Ich habe nämlich das Gefühl dass hier noch etwas fehlt, nur weiß ich leider nicht was.

"<=" Sei A eine skalare Matrix

(a_{11} = a_{22} = .

= a_{n n})

A = (\begin{matrix} a_{11} & 0 . . & . . 0 \\ 0 . . 0 & a_{22} & 0 . . 0 \\ 0 . . & . . 0 & a_{n n} \end{matrix}) \cdot B = (\begin{matrix} b_{11} & b_{. .} & b_{1 n} \\ b_{. .} & b_{. .} & b_{. .} \\ b_{n 1} & b_{. .} & b_{n n} \end{matrix}) = C = (\begin{matrix} a_{11} & c_{. .} & c_{1 n} \\ c_{. .} & a_{. .} & c_{. .} \\ c_{n 1} & c_{. .} & a_{n n} \end{matrix})

B = (\begin{matrix} b_{11} & b_{. .} & b_{1 n} \\ b_{. .} & b_{. .} & b_{. .} \\ b_{n 1} & b_{. .} & b_{n n} \end{matrix}) \cdot A = (\begin{matrix} a_{11} & 0 . . & . . 0 \\ 0 . . 0 & a_{22} & 0 . . 0 \\ 0 . . & . . 0 & a_{n n} \end{matrix}) = D = (\begin{matrix} a_{11} & d_{. .} & d_{1 n} \\ d_{. .} & a_{. .} & d_{. .} \\ d_{n 1} & d_{. .} & a_{n n} \end{matrix})

\Rightarrow c_{21} = d_{21}, .

, c_{n 1} = d_{n 1}, .

, c_{n n - 1} = d_{n n - 1}, .

, c_{n - 1 n} = d_{n - 1 n}, .

, c_{1 n} = d_{1 n}

\Rightarrow C = D

Passt das einigermaßen?

Lg

ermanus aktiv_icon

09:31 Uhr, 22.05.2018

Hallo,
dein Gefühl hat dich nicht getrogen. Du hast in "

\Rightarrow

" eigentlich nur
die Behauptung hingeschrieben, bist aber den Nachweis, dass die Skalarmatrizen
die einzigen Matrizen sind, die mit den Elementarmatrizen

B

vertauschbar sind,
schuldig geblieben.

Genau dies ist der "harte Teil" des Beweises.

Ich fange einen solchen Beweis hier mal an ...

Sei

B

eine solche Elementarmatrix, wie auch du sie gewählt hast.
Es sei also

i \neq j

beliebig aber fest und

B = I_{n} + E_{i j}

, wobei

I_{n}

die Einheitsmatrix
und

E_{i j}

die Matrix ist, die an der Stelle

(i, j)

eine 1 und sonst nur
Nullen besitzt.
Für eine beliebige Matrix

M

schreiben wir

(M)_{i j}

für den Eintrag an
der Stelle

(i, j)

.
Die Matrix

A

sei mit

B

vertauschbar, es sei also

A B = B A

, folglich

A E_{i j} = E_{i j} A

. Wir betrachten den Eintrag dieser Produktmatrix an der Stelle

(r, s)

(A E_{i j})_{r s} = (E_{i j} A)_{r s} . (*)

Der linke Ausdruck errechnet sich zu

(A E_{i j})_{r s} = \sum_{k = 1}^{n} a_{r k} (E_{i j})_{k s} = \sum_{k = 1}^{n} a_{r k} δ_{i k} δ_{j s} = a_{r i} δ_{j s}

.

Hierbei ist

δ_{i j}

das Kroneckersymbol.

Berechne nun den rechten Ausdruck in

(*)

und ziehe aus der Gleichheit deine Schlüsse ...

Gruß ermanus

anjula aktiv_icon

16:36 Uhr, 22.05.2018

Hallo!

Ich wäre nie auf diesen Ansatz gekommen

: |

. Vielen Dank dass du dir so viel Mühe gibst. :-)

OK zum Beweis:

B

sei wie oben definiert.
I_n die Einheitsmatrix und

E_{i j}

die Matrix, die an der Stelle

(i j)

eine 1 steht und ansonsten mit 0 gefüllt ist.

Jedoch bin ich mir nicht sicher warum wir

M

brauchen.

A und

B

sind mit kommutativ

\to A B = B A \to A E_{i j} = E_{i j} A

Zur Produktmatrix:

{(A E_{i j})}_{r s} = {(E_{i j} A)}_{r s}

"<="

{(E_{i j} A)}_{r s} = \sum_{k = 1}^{n} {(E_{i j})}_{r k} a_{k s} = \sum_{k = 1}^{n} δ_{i r} δ_{j k} a_{k s} = δ_{i r} a_{j s}

Stimmt das so?

Daraus schließt man jetzt, dass

δ_{i r} = δ_{j s}

oder?

Das Kronecker-Symbol ist wie folgt definiert:

δ_{i j} = 0

falls

i \neq j, 1

falls

i = j

Falls nun

i = j

und

r = s

ist, dann ist

{(A E_{i j})}_{r s} = {(E_{i j} A)}_{r s} = A

Und falls

i \neq j

und

r \neq s,

dann ist

{(A E_{i j})}_{r s} = {(E_{i j} A)}_{r s} = 0

Irgendwie habe ich das Gefühl, dass ich nun etwas verwirrter bin als vorher. Ich verstehe diesen Beweisteil nicht. Deshalb bin ich mir auch nicht sicher, ob das was ich gerade geschrieben habe auch richtig ist oder nicht.

Lg

ermanus aktiv_icon

16:58 Uhr, 22.05.2018

Hallo,
du bist immer noch im Beweisteil "

\Rightarrow

".
Aber du berechnest nun die rechte Seite von

(*)

.
Und das machst du ganz richtig :-)
Wegen

(*)

hast du nun die Gleichheit

a_{r i} δ_{j s} = δ_{i r} a_{j s}

.

Damit müssen wir nun was machen:

Wählen wir

r = j

und

s = j

, dann ist wegen

i \neq j

auch

i \neq r

, also

δ_{i r} = 0

,
und somit wegen

δ_{j s} = 1

ist

a_{j i} = 0

.
Damit sind alle Elemente von

A

außerhalb der Diagonalen

= 0

.
Wählen wir

s = j

und

r = i

, so folgt

a_{i i} = a_{j j}

.
Damit sind alle Diagonalelemente einander gleich.

(

M

ist doch nur irgendeine Matrix, mit der ich formal darstellen konnte, was ich
unter

(M)_{i j}

verstehen will.)

anjula aktiv_icon

17:37 Uhr, 22.05.2018

Hallo!

Mit "<=" war nur gemeint das ich eben bei

(⋆)

den rechten Teil berechne, sorry.

Ahh Oke jetzt wird alles wieder etwas klarer. :-)

Also habe ich nun dadurch gezeigt, dass A zwingend eine Diagonalmatrix bzw eine skalare Matrix sein muss, damit sie mit

B

kommutiert.
Und wenn ich nun

B

nicht als Elementarmatrix sondern eine beliebige Matrix hernehme, kann ich dasselbe daraus schließen, oder?

Also wäre damit "=>" abgehackt.

Passt die Rückrichtung "<=" ,wie ich sie vorher schon gemacht habe, aus, oder muss ich da die Erkenntnisse aus "=>" noch mit einbeziehen?

Lg

ermanus aktiv_icon

17:49 Uhr, 22.05.2018

Nein, für die Rückrichtung musst du eigentlich gar nichts machen.
Dass eine Skalarmatrix mit jeder Matrix vertauschbar ist, ist trivial:
Sei

A = c I_{n}

, dann folgt wegen der Rechengesetze in

M a t (n \times n, K)

A B = c I_{n} B = c B = B c = B c I_{n} = B A

.

Gruß ermanus

ermanus aktiv_icon

17:54 Uhr, 22.05.2018

"Und wenn ich nun B nicht als Elementarmatrix sondern eine beliebige Matrix hernehme, kann ich dasselbe daraus schließen, oder?".

Eine beliebiges

B

ist doch ganz uninteressant, wenn bereits die Vertauschbarkeit
mit den elementaren

B

die Skalarmatrixgestalt erzwingt. Du hast hier - so scheint es -
noch ein kleines logisches Problem ;-)

anjula aktiv_icon

17:55 Uhr, 22.05.2018

Passt, das heißt wohl die Aufgabe ist nun (endlich) gelöst.

Ich danke dir nochmal vielmals für deine Hilfe und das rasche Anworten. :-)

Lg

ermanus aktiv_icon

17:57 Uhr, 22.05.2018

Jawoll :-) Endlich gelöst !!!!
LG ermanus

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