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kompakt, abgeschlossen, beschränkt

Universität / Fachhochschule

Tags: Abgeschlossenheit, Beschränkung, kompaktheit

 
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-Lizzy-

-Lizzy- aktiv_icon

12:10 Uhr, 18.01.2016

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Hallo,

mir ist nicht ganz klar, was der Unterschied zwischen Abgeschlossenheit, Kompaktheit und Beschränkung ist.

In meinem Buch steht
[a,b] ist abgeschlossen und kompakt
[a,∞] ist abgeschlossen und nicht kompakt
d.h. immer wenn ich ein ∞ habe, ist es nicht kompakt? Aber warum ist es denn abgeschlossen, wenn es gegen ∞ geht? Es geht doch dann unendlich weiter und hat somit keine Grenze: ist also nicht abgeschlossen?
Außerdem: Ich dachte immer, wenn es in einem Intervall ∞ gibt, dann wird das [a,∞) und nicht [a,∞] geschrieben .. weil ] bedeutet doch, dass etwas mit eingeschlossen ist. Aber wie kann ∞ denn irgendwo eingeschlossen sein?
Ich überlege gerade: Wahrscheinlich verwechsele ich abgeschlossen und beschränkt...
beschränkt heißt, dass ich eine obere und untere Grenze habe.
Aber warum ist [a,b] dann nicht beschränkt, sondern abgeschlossen?

Wäre toll, wenn mir das jemand erklären könnte,
Lizzy

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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

12:16 Uhr, 18.01.2016

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"Aber warum ist [a,b] dann nicht beschränkt, sondern abgeschlossen?"

[a,b] mit endlichen a,b ist beides - beschränkt und abgeschlossen.
[a,∞] ist keine korrekte Schreibweise, wenn man nur mit reellen Zahlen zu tun hat, denn ∞ ist keine Zahl.

Sonst lese einfach die Definitionen.
-Lizzy-

-Lizzy- aktiv_icon

12:48 Uhr, 18.01.2016

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Also ist [a,b] beschränkt, abgeschlossen und kompakt?

Besckränkt: weil obere und untere Grenze, also a und b
Abgeschlossen: ???
Kompakt: da beschränkt und abgeschlossen?
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

13:26 Uhr, 18.01.2016

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"Abgeschlossen: ???"

Kennst Du die Definition?

"Kompakt: da beschränkt und abgeschlossen?"

Ja, in Rn ist kompakt=beschränkt + abgeschlossen.
-Lizzy-

-Lizzy- aktiv_icon

13:37 Uhr, 18.01.2016

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Im Skript steht:
A is called closed if, and only if, every sequence in A that converges in C has its
limit in A (note that ∅ is, thus, closed).

Also das Komplement von [a,b] ist offen und z.B. [a,b]⊆ℝ
⇒[a,b] ist abgeschlossen?
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

13:39 Uhr, 18.01.2016

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Wenn das Koplement von A offen ist, dann ist A abgeschlossen, das ist richtig.
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