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komplexere extremwertprobleme

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Extremwertproblem

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20:35 Uhr, 25.05.2010

>

Beim Tontaubenschießen auf ebenem Gelände wird die Flugbahn

>

durch eine Parabel angenähert. Ein Abschussgerät erreicht

>

eine Weite von

100 m

und

40 m

maximale Höhe.

>

> a)

Berechnen Sie den Abschusswinkel.

> b)

Ein Zuschauer steht direkt unter dem Gipfelpunkt der

>

Bahn auf einem

2 m

hohen Podest. In welchem Punkt ihrer

>

Flugbahn ist ihm die Tontaube am nächsten?

f (0) = 40

f (50) = 0

f(x)=ax^2 +bx

bis dahin ist es klar aber wenn ich mir diese lösung anschaue..

f (x) = - (\frac{2}{125}) x^{2} + 40

wie kommt man den dadrauf? vorallem auf

- (\frac{2}{125}) .

.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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20:40 Uhr, 25.05.2010

Du hast den Scheitelpunkt

S (0 | 40)

und einen weiteren Punkt

P (50 | 0)

Also arbeitest du mit der Scheitelpunktsform:

f (x) = a x^{2} + 40

Setze

P (50 | 0)

ein:

0 = a \cdot 50^{2} + 40 = 2500 a + 40 \Leftrightarrow 2500 a = - 40 \Leftrightarrow a = - \frac{40}{2500} = - \frac{2}{125}

\Rightarrow f (x) = - \frac{2}{125} x^{2} + 40

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20:42 Uhr, 25.05.2010

bx ist

40

ich dachte

d

wäre immer

y

achsenabschnitt?

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20:47 Uhr, 25.05.2010

Die allgemeine Form einer ganzrationalen Funktion 2.Grades ist

f (x) = a x^{2} + b x + c

Bei dir ist dann eben

a = - \frac{2}{125}; b = 0

und

c = 40

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20:56 Uhr, 25.05.2010

doofe frage..warum ist

f (x) .

. 0 ?

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20:58 Uhr, 25.05.2010

Was? Ich verstehe die Frage nicht.

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21:01 Uhr, 25.05.2010

Man setzt für

x = 50

ein und

b

ist

40

aber warum ist

f (x) = 0

Die Frage bezieht sich auf deine Antwort, die etwas weiter oben liegt.

0 = a \cdot 50 ...

.
warum 0?

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21:03 Uhr, 25.05.2010

Das hast du doch selber oben als Bedingung stehen:

f (50) = 0

Für

x = 50

muss

f (x)

also 0 sein.

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21:27 Uhr, 25.05.2010

aufgabe

b

B (x I f (x))

gilt

e =

wurzel von

(x^{2} + {(f (x) - 2)}^{2})

wieso die wurzel
ah das

^2

leuchtet ein aber warum die wurzel??

Das verstehe ich nicht so ganz..

vorallem:

steht dann da:

wurzel von

((\frac{4}{15625}) x^{4} - (\frac{27}{125}) x^{2} + 1444)

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21:36 Uhr, 25.05.2010

Der Typ steht unter dem Gipfelpunkt (=Scheitelpunkt=Hochpunkt) auf einem 2 Meter hohen Podest. Also quasi der Punkt

B (0 | 2)

.
Jetzt suchst du den Punkt von

f (x) = - \frac{2}{125} x^{2} + 40,

der den kleinsten Abstand zu

B (0 | 2)

hat.
Allgemein gilt nach Pythagoras für den Abstand zweier Punkte

P_{1} (x_{1} | y_{1})

und

P_{2} (x_{2} | y_{2}) :

\bar{P_{1} P_{2}} = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}

(siehe Bild)

Für den Abstand eines Punktes

A (x | f (x))

B (0 | 2)

gilt also:

d (x) = \sqrt{{(x - 0)}^{2} + {(f (x) - 2)}^{2}} = \sqrt{x^{2} + {(f (x) - 2)}^{2}}

Setze nun

- \frac{2}{125} x^{2} + 40

für

f (x)

ein und vereinfache dann

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21:40 Uhr, 25.05.2010

ja aber warum die wurzel ?

S . d . P = c^{2} = a^{2} + b^{2}

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21:41 Uhr, 25.05.2010

c^{2} = a^{2} + b^{2} \Leftrightarrow c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

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21:42 Uhr, 25.05.2010

aso

> . <

danke

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21:47 Uhr, 25.05.2010

Joah gern geschehen.

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21:53 Uhr, 25.05.2010

e =

wurzelx^2+((-(2/125)x^2+40)-2)^2

jetzt steht eine

- 2

da und wenn ja ein minus vor einer klammer steht.. werden die zeichen in der klammer denn dann nicht umgedreht?

: x

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22:02 Uhr, 25.05.2010

ah klammer falsch gesetzt? nur die

40

wird

- 2

genommen

hagman aktiv_icon

22:04 Uhr, 25.05.2010

Übrigens ist es rechnerisch durchaus etwas einfacher, wenn du den Punkt suchst, der das Abstandsquadrat minimiert (also ohne die Wurzel). Das Abstandsquadrat wird ja genau dann minimal, wenn der Abstand minimal wird.

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22:04 Uhr, 25.05.2010

Hä?
Du hast:

f (x) = \sqrt{x^{2} + {(f (x) - 2)}^{2}}

f (x) = \sqrt{x^{2} + {(- \frac{2}{125} x^{2} + 40 - 2)}^{2}}

f (x) = \sqrt{x^{2} + {(- \frac{2}{125} x^{2} + 38)}^{2}}

f (x) = \sqrt{x^{2} + \frac{4}{15625} x^{4} - \frac{152}{125} x^{2} + 1444}

f (x) = \sqrt{\frac{4}{15625} x^{4} - \frac{27}{125} x^{2} + 1444}

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22:19 Uhr, 25.05.2010

- (\frac{27}{125})

: s

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22:23 Uhr, 25.05.2010

x^{2} - \frac{152}{125} x^{2} = \frac{125}{125} x^{2} - \frac{152}{125} x^{2} = \frac{125 - 152}{125} x^{2} = - \frac{27}{125} x^{2}

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