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konvergenz Minorante und Majorante

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen, Reihen

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13:46 Uhr, 14.12.2012

Hallo,

ich soll zu der Reihe

cos (2 k) \cdot \frac{1}{2^{k}}

eine konvergente Majorante oder divergente Minorante finden:

Zum Vorgehen:
Ich habe mir eigentlich nur den Nenner angeguckt, also

2^{k}

. Dazu habe ich mir dann einen bereits bekannte Reihe gesucht, deren Betrag kleiner ist. Ich habe einfach

k

gewählt. Dann gilt:

k < 2^{k}

\frac{cos (2 k)}{k} > \frac{cos (2 k)}{2^{k}}

Ich weiß, dass

\frac{1}{k}

eine harmonische Reihe ist, die divergiert also habe ich geschlussfolgert, dass

\frac{cos (2 k)}{k}

eine divergent Minorante ist.

Ist mein Vorgehen so eigentlich richtig oder mache ich mir das viel zu einfach so? Das waren jetzt wirklich nur 3 Zeilen...????

Edddi aktiv_icon

14:01 Uhr, 14.12.2012

. .

. wenn

\frac{cos (2 \cdot k)}{k} > \frac{cos (2 \cdot k)}{2^{k}}

so könnte die Reihe von

\frac{cos (2 \cdot k)}{k}

nur majorisieren!

. .

. und durch den Vorzeichenwechsel von

cos (2 \cdot k)

kann auch

\frac{cos (2 \cdot k)}{k} < \frac{cos (2 \cdot k)}{2^{k}}

...für die Minorante muss deine Folge

a_{k} < \frac{cos (2 \cdot k)}{2^{k}}

sein.

;-)

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14:06 Uhr, 14.12.2012

Hallo Eddi,

was meinst du mit majorisieren. Ich dachte wenn ich dieses Kriterium durchführe mit einer divergenten Reihe ist diese Reihe eine Minorante, eben weil sie divergent ist.

Das Vorgehen an sich ist schon richtig??

Danke

Edddi aktiv_icon

14:09 Uhr, 14.12.2012

Aber für die Minorante müssen die Folgeglieder kleiner sein als die von dir gegebenen Folgeglieder

\frac{cos (2 \cdot k)}{2^{k}}

Wenn diese dann divergiert (müsste sie ja nicht, musst du zeigen), dann divergiert auch die Reihe deiner Folge.

;-)

Edddi aktiv_icon

14:16 Uhr, 14.12.2012

. .

. eine konvergente Majorante sollte hier leichter zu finden sein. Dafür müsst für die Folgeglieder

a_{k}

gelten:

| \frac{cos (2 \cdot k)}{2^{k}} | \leq a_{k}

- 1 \leq cos (2 \cdot k) \leq 1

ist

cos (2 \cdot k) < 2

und damit:

| \frac{cos (2 \cdot k)}{2^{k}} | \leq \frac{2}{2^{k}}

nun untersuche, ob nich

\sum \frac{2}{2^{k}} = 2 \cdot \sum \frac{1}{2^{k}} = 2 \cdot (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ...)

konvergiert.

;-)

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14:20 Uhr, 14.12.2012

Ok das leuchtet mir ein.

Das mit Problem mit dem Vorzeichenwechsel kann ich doch aber lösen, indem ich bestimmte Intervalle festlege, in denen es sich bei

\frac{cos (2 k)}{k}

entweder um eine divergente Majorante

(1 < k \leq 44)

oder um eine Minorante handelt???

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14:49 Uhr, 14.12.2012

Das ist ein Ansatz den ich gar nicht bedacht habe. Ich dachte man müsste immer den Nenner betrachten und dürfte den Zähler nicht verändern.

Jetzt nochmals eine Frage zum Verständnis:

Bei einer Majorante ist bk immer größer als ak, die Majorante kann sowohl divergent als auch konvergent sein (muss untersucht werden)

Bei einer Minorante ist bk kleiner als ak, sie kann auch divergent oder konvergent sein?

Vielen Dank

Bummerang

15:13 Uhr, 14.12.2012

Hallo,

ich würde so herangehen:

- 1 \leq cos (2 \cdot k) \leq 1

für alle

k \in ℕ

- \frac{1}{2^{k}} \leq \frac{cos (2 \cdot k)}{2^{k}} \leq \frac{1}{2^{k}}

für alle

k \in ℕ

\sum_{k = 0}^{n} (- \frac{1}{2^{k}}) \leq \sum_{k = 0}^{n} (\frac{cos (2 \cdot k)}{2^{k}}) \leq \sum_{k = 0}^{n} (\frac{1}{2^{k}})

für alle

n \in ℕ

lim_{n \to + \infty} (\sum_{k = 0}^{n} (- \frac{1}{2^{k}})) \leq lim_{n \to + \infty} (\sum_{k = 0}^{n} (\frac{cos (2 \cdot k)}{2^{k}})) \leq lim_{n \to + \infty} (\sum_{k = 0}^{n} (\frac{1}{2^{k}}))

\sum_{k = 0}^{+ \infty} (- \frac{1}{2^{k}}) \leq \sum_{k = 0}^{+ \infty} (\frac{cos (2 \cdot k)}{2^{k}}) \leq \sum_{k = 0}^{+ \infty} (\frac{1}{2^{k}})

- \sum_{k = 0}^{+ \infty} (\frac{1}{2^{k}}) \leq \sum_{k = 0}^{+ \infty} (\frac{cos (2 \cdot k)}{2^{k}}) \leq \sum_{k = 0}^{+ \infty} (\frac{1}{2^{k}})

- 2 \leq \sum_{k = 0}^{+ \infty} (\frac{cos (2 \cdot k)}{2^{k}}) \leq 2

Damit hat man die Reihe sowohl nach unten als auch nach oben beschränkt.

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15:22 Uhr, 14.12.2012

ich glaube ich habe das Prinzip noch nicht richtig verstanden. Bei dem was du da jetzt gemacht hast, wird doch über haupt nicht mehr überprüft ob die Majoranten letzendlich divergieren oder konvergieren??
Wieso steht am Schluss, dass

- 2 \leq cos (2 k) \cdot \frac{1}{2^{k}} < 2

??? Wo sind da die Minoranten und Majoranten hin?

Bummerang

15:24 Uhr, 14.12.2012

Hallo,

die beiden Reihen sind ja (bis auf das Vorzeichen) identisch und als geometrische Reihen mit

q = \frac{1}{2}

bekannt. Der Wert der Reihe ist dann

\frac{1}{1 - q}

und das ergibt hier eben 2 bzw. wenn man das Vorzeichen links nicht vergißt, dann ergibt es dort

- 2

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15:32 Uhr, 14.12.2012

Ok ich glaube langsam leuchtet mir das ein. Was mich ich mich immer noch frage ist, ob Majoranten auch divergieren können bzw. Minoranten konvergieren?

Schließlich ist ja

- \frac{1}{2^{k}}

eine Minorante, dennoch konvergiert sie??

Danke

Bummerang

15:45 Uhr, 14.12.2012

Hallo,

natürlich kann eine Majorante auch divergieren, nur wenn sie nach

+ \infty

divergiert, dann nutzt Sie Dir nichts,

d . h

. Du solltest eine andere, besser geeignete Majorante suchen! Divergiert sie nach

- \infty,

dann kannst Du immerhin sagen, dass Deine untersuchte Reihe ebenfalls gegen

- \infty

divergiert. Im Normalfall sucht man sich eine konvergente Majorante um die Beschränktheit nach oben zu zeigen. Mit der strengen Monotonie einer zu untersuchenden Reihe hätte man damit die Konvergenz der Reihe gezeigt.

Hier hast Du übrigends eine konvergente Minorante! Im Normalfall sucht man sich aber eine gegen

+ \infty

divergente Minorante, damit hat man dann die Divergenz der zu untersuchenden Reihe gezeigt.

Auch gern gemacht: Konvergente Minorante und konvergente Majorante und beide haben den selben Reihenwert. Dann hat man nicht nur gezeigt, dass die Reihe beschränkt ist, sondern auch deren Wert ermittelt.

In unserem Beispiel hier hat man nur die Beschränktheit gezeigt, damit ist wegen der fehlenden Monotonie noch nicht einmal gezeigt, dass der Reihenwert existiert. Es könnte immer noch mehrere Häufungspunkte geben. Ich weiß nicht, wie man diese Reihe durch das Majoranten-Minoranten-Prinzip näher berechnen könnte.

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15:56 Uhr, 14.12.2012

Hallo Bummerang,

vielen Dank für deine ausführliche Antwort. Das hat mir jetzt wirklich eingeleuchtet. Leider wird das in keiner unserer Vorlesungen wirklich deutlich, sodass ich mich auf dem Gebiet überhaupt nicht sicher fühle.

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