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konvergenz Reihe i^n/n

Universität / Fachhochschule

Funktionentheorie

Tags: Funktionentheorie

epii1 aktiv_icon

11:23 Uhr, 13.10.2015

Hallo!

Ich hänge total und meine Analysis-Kenntnisse sind für die Funktionentheorie wohl auch nicht so gut, wie sie sein sollten. Vielleicht gibts ja hier einen totalen Funktionenthorie-Fan, der mir behilflich sein kann!

Also, ich soll sagen, ob die folgende Reihe konvergent bzw. absolut konvergent ist.

\sum_{n = 1}^{o o} \frac{i^{n}}{n}

Ich hab mir das mal so aufgeschrieben:

\sum_{n = 1}^{o o} \frac{i^{n}}{n} = \sum_{n = 1}^{o o} \frac{1}{n} i^{n} = i - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} i - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} i - \frac{1}{6} + . . .

Das sieht doch total aus wie die alternierende harmonische Reihe. Und diese konvergiert zwar nach dem Leibnitzschen Konvergenzkriterium, konvergiert aber nicht absolut. Aber darf ich das Leibnitzkriterium einfach so auf komplexe Zahlen übertragen?

Oder darf ich die Teilsummen in Imaginärteil und Realteil spalten und überprüfen, ob Realteil und Imaginärteil konvergieren?

Danke schon mal für die Antworten!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

11:31 Uhr, 13.10.2015

"Aber darf ich das Leibnitzkriterium einfach so auf komplexe Zahlen übertragen?"

Einfach so nicht.

"Oder darf ich die Teilsummen in Imaginärteil und Realteil spalten und überprüfen, ob Realteil und Imaginärteil konvergieren?"

Ja, das darfst Du natürlich und dann siehst Du, dass sowohl für Realteil wie auch für Imaginärteil das Leibnitzkriterium greift. Damit konvergiert die Reihe, aber nicht absolut.

epii1 aktiv_icon

16:05 Uhr, 13.10.2015

Danke!

Dann benutze ich:

Seien

(x_{n})

und

(y_{n})

reelle Zahlenfolgen.

(z_{n}) = (x_{n} + i y_{n})

ist genau dann konvergent, wenn sowohl

(x_{n})

als auch

(y_{n})

konvergent sind. Dann ist lim

(z_{n}) = l i m (x_{n}) + i \cdot l i m (y_{n})

.

Also:

(x_{n}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{6} - . . . = (- 1) \cdot \sum_{i = 1}^{\infty} \frac{1}{2 n}

(y_{n}) = i + \frac{1}{3} \cdot i + \frac{1}{5} \cdot i + . . . = i \cdot \sum_{i = 1}^{\infty} \frac{1}{2 n + 1}

Dann muss ich jetzt nur zeigen, dass

\frac{1}{2 n}

und

1 2 n + 1

konvergent sind. Da steh ich aber gerade an. Die harmonische Reihe ist divergent. Alles mögliche andere aber konvergent. Wie ist das jetzt mit den beiden? Bzw. aus deiner Antwort schließe ich, dass sie konvergent sind, wenn ich richtig gedacht hab. Aber warum sind sie konvergent?

abakus

16:09 Uhr, 13.10.2015

Denke nochmal über die Vorzeichen nach, die beim Berechnen der Potenzen von i der Reihe nach entstehen.
Wenn du hungrig bist - iss einen Leibniz-Keks.

DrBoogie aktiv_icon

16:12 Uhr, 13.10.2015

Du hast doch selber geschrieben, dass dies mit Leibnizkriteroum geht, schon vergessen? :-O

Und es muss

(- 1)^{n}

sein, nicht einfach

- 1

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