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lineare Abbildung durch gegebenen Kern erzeugen

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Lineare Abbildungen

Tags: Lineare Abbildungen

schwanengesang aktiv_icon

05:30 Uhr, 30.12.2009

Guten Morgen!

Ich sitze gerade an folgender Aufgabe und komme nicht wirklich voran:

Finden Sie eine lineare Abbildung

f : ℝ^{4} \to ℝ^{3},

deren Kern durch

(1,2,3,4)

und

(0,1,1,1)

erzeugt wird.

Meine bisherigen Überlegungen:

f ({(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})}^{T}) := {(y_{1}, y_{2}, y_{3})}^{T},

wobei ich letzteren Vektor bestimmen muss.

mit ker(M)=

{(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix})} :

(\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{11} + 2 a_{12} + 3 a_{13} + 4 a_{14} \\ a_{21} + 2 a_{22} + 3 a_{23} + 4 a_{24} \\ a_{31} + 2 a_{32} + 3 a_{33} + 4 a_{34} \end{matrix})

mit ker(M)=

{(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})}

(\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{12} + a_{13} + a_{14} \\ a_{22} + a_{23} + a_{24} \\ a_{32} + a_{33} + a_{34} \end{matrix})

jaaa... ich glaube nicht so recht, dass ich hier korrekt liege. Vermutlich gehe ich falsch mit dem Kern um

o

.ä.
Wärt ihr so gut und würdet mir etwas auf die Sprünge helfen, wie ich zum richtigen Ergebnis gelange?

Schönen Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

hagman aktiv_icon

10:54 Uhr, 30.12.2009

Der Kern wäre ein Unterraum des Definitionsbereichs, hier also des

ℝ^{3},

aber deine Vektoren leben im

ℝ^{4}!

schwanengesang aktiv_icon

11:29 Uhr, 30.12.2009

oh, Verzeihung, die lineare Abbildung sieht folgendermaßen aus:

f : ℝ^{4} \to ℝ^{3}

ich habe es oben ebenfalls editiert.

michaL aktiv_icon

11:51 Uhr, 30.12.2009

Hallo,

in welcher Form sollst du denn eine solche Abbildung angeben?

Im allgemeinen reicht es, wenn man die Bilder der Vektoren einer Basis angäbe. Wäre dein Prof damit zufrieden? Dann müsstest du die Vektoren des Kerns zu einer Basis des

ℝ^{4}

ergänzen. Als Bild der beiden Kernvektoren müsste natürlich dann der Nullvektor herhalten, für die beiden anderen kannst du fast alles nehmen, solange die Bilder linear unabhängig sind.

Wenn das nicht reicht, könntest du mit dem obigen Ansatz aber weiter machen. Du müsstest nur den Basiswechsel beachten. (Falls dir das grad nichts sagt, dann ist das wahrscheinlich auch nichts für dich.)
Alternativ könntest du konsequent so weiter machen, wie du auch begonnen hast. Das "Problem" ist nur, dass du deine Gleichungssysteme nicht konsequent erstellt hast. Außerdem sind diese mehrdeutig lösbar, du wirst um ein geeingetes "Auswählen" nicht herum kommen.

Gib doch noch mal Rückmeldung, was geht.

Mfg Michael

schwanengesang aktiv_icon

18:13 Uhr, 30.12.2009

hui, das ist ja nun einiges an Informationen. Also den Basiswechsel hatten wir durchaus schon in der Vorlesung, allerdings beherrsche ich ihn noch nicht. Ursprünglich wollte ich den alten Stoff Kapitel für Kapitel nach- bzw. aufarbeiten, der Basiswechsel wäre zu einem späteren Zeitpunkt Thema gewesen. Dennoch, an und für sich dürfte ich diesen zum Lösen der Aufgabe nutzen.

Der Gedanke hinter meinem obigen Konzept war der, einfach rückwärts den Weg zu gehn, den man eigentlich zur Bestimmung des Kerns einschlagen würde. Allerdings komme ich aktuell nicht über das hinaus, was ich bereits angegeben habe (und sei der nächste Schritt möglicherweise noch so simpel...). Für eine Art Wegweiser wäre ich in dem Fall sehr dankbar!

Ansonsten hört sich deine erste Überlegung interessant an, darum knüpfe ich hier an, wobei ich vorweg nehmen muss, dass die Themen Kern und Bild recht neu für mich sind:

Ergänzung zu einer Basis des

ℝ^{4} :

(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

Die Bilder der entsprechenden Vektoren wären dann:

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}), (\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

Ist das soweit korrekt? Du schriebst, dass ich für letztere beiden Bilder "fast alles nehmen" könnte, solange sie lin.unab. sind. Warum ist dem so, und ist meine Version in Ordnung?

Und würde daraus jetzt nicht folgen, dass meine lineare Abbildung folgendermaßen aussieht:

f : (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{matrix}) = (\begin{matrix} x_{3} + 2 x_{4} \\ 3 x_{1} + x_{2} \end{matrix})

hmm... nein, das befindet sich ja schon nicht mehr im

ℝ^{3},

also ist das falsch. Allerdings sind ja auch die beiden Nullvektoren lin.ab., darum kann ich ja nichts im

ℝ^{3}

errichten?

Entschuldige bitte die verworrene Ordnung meines Beitrages, ich hoffe, Du kannst den Überblick - zumindest halbwegs - behalten.

arrow30

18:30 Uhr, 30.12.2009

hi,
Kern einer linearen Abbildung ist ,wie folgendes definiert :
kern

f := {v \in ℝ^{4} : f (v) = 0 \in ℝ^{3})

nun bei dir ist gegeben dass die zwei Vektoren

(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix})

und

(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

erzeugen kern

f

dies bedeutet

\to

kern

f := (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{matrix}) = α \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}) + δ \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

mit

α, δ \in ℝ

und nicht vergessen :

f ((\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})) = f ((\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix})) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

und für jedes

α

und

δ

bekommst du auch neue Vektoren aus kern

f

vielleicht hilft dir das ..

schwanengesang aktiv_icon

18:46 Uhr, 01.01.2010

oh je, ehrlich gesagt bin ich nun vollständig verwirrt, obwohl oben genanntes durchaus logisch klingt. Ich habe nun einen ganzen Batzen an Informationen, weiß aber nicht so recht, was ich damit anfangen kann, besonders fehlt mir wohl eine Vorstellung davon, wie das Resultat auszusehen hat, da ich persönlich lineare Abbildungen als recht abstrakt empfinde...

ermanus aktiv_icon

19:41 Uhr, 01.01.2010

Ein gutes Neues Jahr !
Hier mein Vorschlag:

f

sei unsere gesuchte lin. Abbildung.
Da der Kern(f) von zwei lin. unabhängigen Vektoren aufgespannt werden soll,
gilt dim(Kern(f))

= 2

. Wegen

dim (ℝ^{4}) = 4

muss also das Bild von

f

die Dimension

4 - 2 = 2

haben. Daher machen wir uns das Leben ein bisschen bequemer und
konstruieren zunächst eine Abbildung

ℝ^{4} \to ℝ^{2}

. Dann betten wir

ℝ^{2}

auf simple Weise in

ℝ^{3}

ein.

Wir suchen nun nach Koeffizienten

a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}

für die gilt

1 \cdot a_{1} + 2 \cdot a_{2} + 3 \cdot a_{3} + 4 \cdot a_{4} = 0

(da ja der Vektor

{(1,2,3,4)}^{T}

zu 0 werden soll).

0 \cdot a_{1} + 1 \cdot a_{2} + 1 \cdot a_{3} + 1 \cdot a_{4} = 0

(da ja der Vektor

{(0,1,1,1)}^{T}

zu 0 werden soll).

Hieraus ergibt sich nach einer Umformung:

a_{1} = - a_{3} - 2 \cdot a_{4}

und

a_{2} = - a_{3} - a_{4} .

a_{3}

und

a_{4}

können wir hier frei wählen und erhalten dann

a_{1}

und

a_{2} .

Wir machen es so, wie man es häufig macht:

1.

a_{3} = 1, a_{4} = 0 \Rightarrow a_{1} = - 1, a_{2} = - 1 .

a_{3} = 0, a_{4} = 1 \Rightarrow a_{1} = - 2, a_{2} = - 1 .

So bekommen wir unsere Abbildungsmatrix

A = (\begin{matrix} - 1 & - 1 & 1 & 0 \\ - 2 & - 1 & 0 & 1 \end{matrix})

und es wird

f_{A} ({(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})}^{T}) = {(- x_{1} - x_{2} + x_{3}, - 2 x_{1} - x_{2} + x_{4})}^{T} .

Wie man keicht sieht, liegen die beiden gegebenen Vektoren in der Tat im Kern(

f_{A}) .

Nun muessen wir nur noch zeigen, dass nicht zu viel "verschwindet"!
Es ist

f_{A} ({(0,0,1,0)}^{T}) = {(1,0)}^{T}

und

f_{A} ({(0,0,0,1)}^{T}) = {(0,1)}^{T} .

Das bedeutet, dass das Bild offenbar 2-dimensional ist.
Damit geht also nix weiter verloren.
Unser Kern ist danmit genau das, was er sein soll:
"nicht zu klein und nicht zu groß."
Nun betten wir die Geschichte noch in den

ℝ^{3}

ein und sind fertig:

f ({(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})}^{T}) := {(- x_{1} - x_{2} + x_{3}, - 2 x_{1} - x_{2} + x_{4}, 0)}^{T} .

Neujahrliche Grüße
Hermann

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