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Schüler Fachoberschulen, 12. Klassenstufe

Unbestimmtes Integral

Tags: Unbestimmtes Integral

tom90 aktiv_icon

19:36 Uhr, 02.12.2009

Hallo,

ich bin grad fleißig am FOS-Prüfungsaufgaben rechnen und beim Integrieren auf ein "Verständnis"-Problem gestoßen bei dem ich nicht weiter weiß.

Es geht um folgendes, unbestimmtes Integral:

$\int \ln (a x + b) d x$

1. In meinem Buch steht:

Allgemein gilt die folgende Integrationsformel für a $\neq$ 0:

$\int \ln (a x + b) d x = \frac{1}{a} (- (a x + b) + (a x + b) \ln (a x + b)) + c$

2. Der Wolfram-Online-Integrator kommt zu folgendem Ergebnis:

$\int \ln (a x + b) d x = (\frac{b}{a} + x) \ln (a x + b) - x$

3. Mein Gedankgang sieht so aus:

Aus der Formelsammlung kennt man $\int \ln x d x = - x + x \ln x + c$

Für $\int \ln (a x + b) d x$ hätte ich die Substituion verwendet.

Also y = ax + b

$\int \ln y d y = - y + y \ln y + c$

und dann für y eingesetzt:

$\int \ln (a x + b) d x = - (a x + b) + (a x + b) \ln (a x + b) + c$

Also im Prinzip fast das selbe, was in meinem Buch steht, nur kann ich mir das $\frac{1}{a}$ nicht erklären kann.

Was davon stimmt denn nun und wo ist evtl. mein Denkfehler?

Danke schonmal im voraus

Gruß tom90

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Stammfunktion

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19:48 Uhr, 02.12.2009

Substituion

\to y = a \cdot x + b \Rightarrow d y = a \cdot d x \Rightarrow d x = \frac{d y}{a} \Rightarrow

\int ln (a \cdot x + b) d x = \int ln (y) \frac{d y}{a} = \frac{1}{a} \cdot \int ln (y) d y

tom90 aktiv_icon

19:59 Uhr, 02.12.2009

Danke für die schnelle Antwort,

das erklärt natürlich woher der Faktor $\frac{1}{a}$ bei der Formel im Buch kommt.

Mir ist allerdings noch nicht ganz klar wie du auf $d x = \frac{d y}{a}$ kommst. Wohin verschwindet das b?

Und was hat es mit der Lösung vom Wolfram-Integrator auf sich? Einfach eine mathematische Umformung und im Prinzip das selbe Ergebnis oder schlicht falsch?

arrow30

20:27 Uhr, 02.12.2009

y = a \cdot x + b \Rightarrow \frac{d y}{d x} = y' = a

(Ableitung von Konstanten ist immer eine 0 und

b

ist eine Konstante )

und ja beide Ergebnisse sind identisch (Umformung)

tom90 aktiv_icon

20:37 Uhr, 02.12.2009

Danke dir, jetzt hab ichs verstanden ;)

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