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m über n = 0

Universität / Fachhochschule

Binomialkoeffizienten

Tags: Binomialkoeffizient, Fakultät

btom1994 aktiv_icon

19:43 Uhr, 27.10.2016

Hi ich hab noch ein Problem bei folgender Aufgabe:

Für

n \leq m

gilt

(\begin{matrix} m \\ n \end{matrix}) = \frac{m!}{n! (m - n)!} = (\begin{matrix} m \\ m - n \end{matrix})

Dieser Teil ist schon bewiesen.

Für

n > m

gilt

(\begin{matrix} m \\ n \end{matrix}) = 0

Kann mir jemand einen Tipp geben, wie man den unteren Teil nachweisen kann?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

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19:49 Uhr, 27.10.2016

Fakultäten für negative oder nicht ganze Zahlen sind nicht definiert.

de.wikipedia.org/wiki/Fakult%C3%A4t_(Mathematik)#Definition

btom1994 aktiv_icon

19:53 Uhr, 27.10.2016

Ja genau das ist mein Problem. Ich finde keinen Weg um diese Fakultät aus einer negativen Zahl.

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19:59 Uhr, 27.10.2016

Dieser Fall scheint sinnfrei zu sein. Warum sollte also 0 rauskommen?

Man kann nicht

z . B

. "49 aus 6" ziehen. Das ist absurd.

Andererseits: Vllt. gibt es Kontexte, wo das Sinn macht. Ich kenne leider keine. :-)

btom1994 aktiv_icon

20:02 Uhr, 27.10.2016

Also in der Aufgabe wird zuerst das Pascalsche Dreieck beschrieben mit

n \leq m

. Und dann kommt die besagte Aufgabenstellung. Also sehe ich auch keinen Kontext, warum das Sinn machen sollte.

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20:10 Uhr, 27.10.2016

Vllt.äußerst sich noch einer unserer Vollprofis dazu. Warte ab! :-)

btom1994 aktiv_icon

20:14 Uhr, 27.10.2016

Ja hoffentlich ich bin am verzweifeln. Trotzdem schon mal danke

tobit aktiv_icon

21:25 Uhr, 27.10.2016

Hallo zusammen!

Ich nehme mal an, n und m sollen natürliche Zahlen sein?

Gemäß der Definition unter www.onlinemathe.de/forum/Binomialkoeffizienten-Addition lässt sich wie folgt vorgehen:

Da n und m natürliche Zahlen mit

n > m

sind, gilt

n = m + k

für ein

k \in ℕ

mit

k \geq 1

.

Zeige nun per Induktion nach

k

: Für alle

k \in ℕ

mit

k \geq 1

gilt "m über m+k"=0.

Viele Grüße
Tobias

anonymous

23:04 Uhr, 27.10.2016

Hallo

1)

Eine Ahnung von mir ist, das es für diesen Satz keinen Beweis gibt, sondern dass

(\begin{matrix} m \\ n \end{matrix}) = 0

für

n > m

oder für

n < 0

schlichtweg eine Festlegung, eine Definition ist.
So wie auch

0! = 1

sich nicht beweisen lässt, sondern so festgelegt wurde, weil es sich als sinnvoll erwiesen hat.

2)

Ein anderer Hinweis könnte sein, dass ja eine Festlegung des Pascalschen Dreiecks lautet:

(\begin{matrix} m + 1 \\ n + 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} m \\ n \end{matrix}) + (\begin{matrix} m + 1 \\ n \end{matrix})

Also in Worten: Eine Zelle im Pascalschen Dreieck ist stets gleich der Summe der beiden darüber liegenden Zellen.

Nun sind wir uns sicher einig, dass gilt:

(\begin{matrix} 7 \\ 0 \end{matrix}) = 1

und

(\begin{matrix} 8 \\ 0 \end{matrix}) = 1

(\begin{matrix} 8 \\ 0 \end{matrix})

muss aber gemäß dieser Definition die Summe sein aus:

(\begin{matrix} 7 \\ 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 7 \\ - 1 \end{matrix})

Also, wie groß ist demnach

(\begin{matrix} 7 \\ - 1 \end{matrix})

3 .)

Betrachten wir mal die folgende Reihe:

(\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix}) = 4

(\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}) = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6

(\begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix}) = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2}{2 \cdot 3} = 4

(\begin{matrix} 4 \\ 4 \end{matrix}) = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 3 \cdot 4} = 1

Wenn wir diese Reihe logisch fortsetzten, dann doch wahrscheinlich:

(\begin{matrix} 4 \\ 5 \end{matrix}) = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 0}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}

Siehe da, im Zähler taucht eine Null auf. Also was wird da wohl raus kommen?

tobit aktiv_icon

06:04 Uhr, 28.10.2016

Mein vorheriger Vorschlag war unnötig kompliziert. Einfacher:

Sei

m \in ℕ

.
Zeige per Induktion nach

n

: Für alle natürlichen Zahlen

n \geq m + 1

gilt: "m über n"=0.

@kreadoor:

In der Tat wird häufig explizit "m über n" als 0 definiert, falls

m, n \in ℕ

mit

n > m

.
Im Falle von btom1994 entnehme ich jedoch dem von mir verlinkten anderen Thread, dass "a über n" für

n \in ℕ

und

a \in ℝ

allgemein definiert wurde.
Damit kann und soll man zeigen, dass gemäß dieser Definition "m über n"=0 für

m, n \in ℕ

mit

n > m

gilt.

btom1994 aktiv_icon

13:37 Uhr, 28.10.2016

Danke euch allen für die Hilfe. Mit der vorgeschlagenen Induktion von tobit war das dann auch kein Problem mehr und es ist tatsächlich bewiesen.

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