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maximale Wahrscheinlichkeit

Schüler

Tags: abhängig, Maximal, Stochastik, Wahrscheinlichkeit

matheschuelerin

15:51 Uhr, 05.09.2017

Liebe Forummitglieder,
ich komme leider mit einer Aufgabe nicht weiter :(
Die Aufgabe lautet: 60% der Schüler spielen Fußball, 30% schwimmen und 40% spielen Badminton. Aber jeder der Schüler übt mindestens eine der drei Sportarten aus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler alle drei Sportarten ausübt?
Da die Sportarten ggf. von einander "abhängig" sind (z.B. alle Schwimmen spielen Fußball etc.) ist es lediglich möglich einen Wahrscheinlichkeitsbereich anzugeben. Die minimale Wahrscheinlichkeit beträgt 0%. Mein Problem ist die maximale Wahrscheinlichkeit.
Mein Ansatz

P (F \cup B \cup S) = 1

, da alle Schüler einer der Sportarten ausüben. Fußball-, Badmintonspieler und Schwimmer müssen sich folglich um 30% überschneiden, da

P (F) + P (B) + P (S) = 1, 3

. Die maximale "Schnittmenge" von allen drei Sportarten

P (F \cap B \cap S)

ergibt sich, wenn die Schnittmenge von F und B

P (F \cap B)

und die Schnittmenge von F und S

P (F \cap S)

gleichgroß sind und somit, wenn die beiden Schnittmengen übereinander liegen, die max. Schnittmenge aller drei Sportarten ergibt. Dies wäre bei 15% der Fall. Das wäre also meine Idee für die maximale Wahrscheinlichkeit.
Was würdet ihr sagen?
Vielen Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

16:20 Uhr, 05.09.2017

Es gibt diese Formel:
de.wikipedia.org/wiki/Prinzip_von_Inklusion_und_Exklusion

Danach wird gelten

1 = P (A) + P (B) + P (C) - P (A \cap B) - P (A \cap C) - P (B \cap C) + P (A \cap B \cap C)

,
also

P (A \cap B \cap C) = P (A \cap B) + P (A \cap C) + P (B \cap C)

-0.3.

DrBoogie aktiv_icon

17:07 Uhr, 05.09.2017

Leider hilft diese Formel nicht. :(
15% scheinen richtig zu sein, aber ich habe keine Idee, wie man das beweisen soll.

matheschuelerin

17:21 Uhr, 05.09.2017

Trotzdem vielen Dank, die Formel ist zumindest gar nicht so verkehrt :-)

matheschuelerin

18:18 Uhr, 06.09.2017

Ich bin nun gestern Abend dank der Anregung von Dr Boogie selbst zu einer Lösung gekommen. Zum einen (und das ist die einfache Variante) ist die Aufgabe grafisch lösbar. Eine rechnerische Lösung müsst wie folgt lauten:

P (F \cup B \cup S) = 1

Alle Schüler betreiben Sport, d.h. 100%
Laut allgemeiner Summenregel für drei Teilmengen gilt:

1 = P (F) + P (B) + P (S) - P (F \cap B) - P (B \cap S) - P (F \cap S) + P (F \cap B \cap S)

Damit

P (F \cap B \cap S)

(gesucht ist ja die maximale Anzahl an Schülern, die alle drei Sportarten betreiben und somit diese Schnittmenge) maximal wird, muss gelten

P (F \cap B) = P (B \cap S) = P (F \cap S) = P (F \cap B \cap S)

, da das dreifache Ausüben einer Sportart nur dann die maximale Wahrscheinlichkeit hat, wenn kein Schüler zwei Sportarten ausübt. Daraus folgt:

1 = P (F) + P (B) + P (S) - 2 P (F \cap B \cap S)

Die Wahrscheinlichkeiten für

P (A)

P (B)

und

P (C)

sind im Aufgabentext gegeben und können daher in die Gleichung eingesetzt werden:

1 = 1, 3 - 2 P (F \cap B \cap S)

Umstellen nach

P (F \cap B \cap S)

liefert die maximale Wahrscheinlichkeit:

P (F \cap B \cap S) = 0, 15 = 15 %

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