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minimaler abstand zweier funktionen
Universität / Fachhochschule
Tags: Lineare Algebra
 
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anonymous 20:59 Uhr, 25.08.2006  |
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ich würde gerne wissen, wie sich der minimale abstand zweier beliebiger funktionen berechnet, z.B. der minimale abstand zwischen der funktion e^x und ln(x). [diese schneiden sich ja nicht] ich wollte dies mit vektoren machen; dabei wird ein beliebiger punkt auf der jeweiligen funktion beschrieben: der erste vektor heisst dann v_1=(x1, e^x1)T und der zweite v_2=(x2, ln(x2))T. dann gilt für den abstand in beliebigen punkten x1, x2: r= v2-v1. die 2-norm dieses vektors r ist dann der abstand zwischen beiden funktionen für beliebige x_i. welche nebenbedingung muss ich nun aufstellen, damit ich das problem lösen kann, bzw. wie minimiere ich die 2-norm des vektors um den minimalen abstand zu erhalten? danke, mfg Sebastian |
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anonymous 00:03 Uhr, 26.08.2006 |
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Hallo, ich kann's zwar gerade nicht beweisen, aber der minimale Abstand zweier Punkte von zwei Funktionsgraphen kann nur senkrecht sein. Folglich brauchst du den Umweg über die euklidische Norm gar nicht zu gehen. Du hast also lediglich |f(x)-g(x)| zu minimieren. Im vorliegenden Fall minimiert man exp(x)-ln(x), wobei x aus dem maximalen gemeinsamen Definitionsbereich sein kann, welcher hier (0,inf) ist. Das kannst du mit den üblichen Methoden machen. (hier: Newton oder andere Näherungsverfahren) Das Minimum sollte dann bei x = 0.5671432904 liegen, mit einem Abstand von 2.330366124. Hoffe, das beantwortet deine Frage. |
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Hi also erstmal muss ich sagen, dass ich so eine aufgabe noch nie gelöst habe, aber in der mathematik ist zum glück mit ein bisschen überlegung alles logisch herleitbar. Man kann es auch ohne Vektoren. ich mach es mal ohne, weil es mir leichter fällt ich nehme jetzt den allgemeinen fall für die funktionen f(x) und g(x) an der abstand wäre |f(x)-g(x)|. Wenn |f(x)-g(x)| ein minimum werden soll, so muss auch [f(x)-g(x)]² ein minimum werden. dadurch erspart man sich den betrag. die neue funktion, welche den quadrat des abstandes im punkt x beschreibt bezeichne ich mit h(x). dann gilt h(x)=[f(x)-g(x)]² das muss noch differenziert werden h'(x)=2*[f'(x)-g'(x)]*[f(x)-g(x)] 0 setzen 0=2*[f'(x)-g'(x)]*[f(x)-g(x)]=[f'(x)-g'(x)]*[f(x)-g(x)] das schöne dabei ist die bereits vorhandene produktdarstellung, sodass man 2 gleichungen schreiben kann f'(x)-g'(x)=0 f(x)-g(x)=0 f'(x)=g'(x) f(x)=g(x) die zweite gleichung sagt aus. wenn die beiden funktionen mindestens einen schnittpunkt haben, so sind diese beiden punkte der kleinste abstand. ansonsten bei keinem schnittpunkt sagt die erste gleichung aus, dass an derjenigen stelle an der die beiden funktionen die gleiche tangentensteigung haben ihr kleinsten abstand voneinander haben. hier sollte man allerdings noch eine weitere untersuchung mittels der zweiten ableitung anstellen. h''(x)=2*[f'(x)-g'(x)]²+2*[f(x)-g(x)]*[f''(x)-g''(x)] angenommen es gebe eine schnittstelle x0 so ist f(x)-g(x)=0 daraus folgt h''(x)=2*[f'(x)-g(x)]² Dieser ausdruck ist stets positiv. also ist ein schnittpunkt immer der kleinste abstand. natürlich kann man sich das denken, aber so hat man es mathematisch gezeigt. gibt es keine stelle x0 gibt es keinen schnittpunkt, kann es nur einen kleinsten abstand geben dessen stelle f'(x)=g'(x) erfüllt gibt es diesen punkt so gilt für ihn h''(x)=2*[f(x)-g(x)]*[f''(x)-g''(x)] für h''(x)>0 handelt es sic schließlich um den kleinsten abstand Zusammenfassung Ia f(x)=g(x) IIa f'(x)=g'(x) Ib h''(x)=[f'(x)-g'(x)]²>=0 für alle x IIb für alle x mit h''(x)=[f(x)-g(x)]*[f''(x)-g''(x)]<0 kleinster abstand (den faktor 2 habe ich weggelassen, da er irrelevant für weitere untersuchungen ist) das wende ich jetzt mal speziell für deine funktionen an f(x)=e^x f'(x)=e^x f''(x)=e^x g(x)=ln(x) g'(x)=1/x g''(x)=-1/x² Ia e^x=ln(x) x=------- (keine lösung) IIa e^x=1/x x*e^x=1 x=ca. 0,567 IIb h(0,567)=(e^0,567-ln(0,567))*(e^0,567+1/0,567)=10,965>0 an dem punkt x=ca. 0,567 ist der abstand ein minimum es ist also genau die lösung der gleichung x*e^x=1 ich hab alles mir grad selbst zusammengereimt, deshalb ist es gut möglich, dass ich falsch liege. Die kleinsten abstände einer funktion zu anderen punkten, was ein ähnliches problem wie dieses darstellt braucht man in der regressionsrechnung, wobei dann eine funktion gesucht, welche im schnitt am wenigsten von z.B Messpunkten abweichen. in der regel erledigen heute solche rechnungen allerdings. Von bedeutung ist da eher zu wissen wie man so ein problem durch logisches denken und schlussfolgerungen lösen kann. ich hoffe ich konnte dir helfen, auch wenn ich jetzt vektoren umgangen habe. |
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Hallo! Und könnte man nicht das Wort "Abstand" als der Abstand zweier Mengen verstehen? Denn seien A und B zwei nichtleere Mengen, dann der Abstand dieser Mengen bezeichnet man d(A,B):=inf (x,y), wo x aus A und y aus B sind. So würde ich eher das Minimum (bzw. das Infimum) einer anderen Funktion untersuchen (aber ich kann falsch liegen): (da ich Probleme mit Formeleditor habe, lieber in TeX weiter ...) \sqrt{(x-y)^2+(e^x-\ln(x))^2}. mfg Marian |
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hallo, erstmal danke für die mühen! ich habe mir alle drei antworten angeguckt und stelle fest, dass nur die dritte meine frage beantwortet. die ersten beiden berechnen nur den abstand in y-richtung und dieses zweifelsfrei richtig. wenn ich mir beide funktionen mal auf ein blatt zeichne und mir vorstelle, dass ein vektor zwei beliebige punkte jeweils einer funktion verbindet, so wird der betrag dieses vektors (vermutlich) zwischen den punkten (0,1) und (1,0) minimal (oder in der nähe). in diesem fall wäre der abstand dann sqrt(2)=1.414, was sehr viel kleiner ist als die lösung von g´(x)=f´(x) mit f(x)=2.33. es bedarf also der untersuchung der funktion h(x,y) = sqrt[(x-y)^2 - ((e^x)-ln(y))^2] mittels jacobi- und hessematrix. h(x,y) ist die funktion, die den betrag des vektors beschreibt. ich habe das probiert zu rechnen, aber wegen der wurzel werden die abbleitungen riesig, weil man immer (1/sqrt(...) * rest) da stehen hat. deswegen habe ich unterwegs aufgegeben, aber vielleicht hat ja jemand lust es mal auszurechnen. nochmal danke an alle antworter gruß Sebastian |
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Hallo! Wenn es dir helfen sollte, dann kann ich etwas in Maple versuchen. Ich denke aber, dass deine Aufgabe nur numerisch gelösst werden kann. Es ist kein Problem, wenn es dir wirklich weiterhilft. mfg Marian |
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| ...wäre mal interessant zu wissen ob wirklich sqrt(2) raus kommt. | |
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Hallo! Also hier sind ein paar Ideen. 1) Es gilt Folgendes: So können wir das Minimum der Funktion suchen und das Rechnen geht wesentlich schneler vor. 2) Existiert das Extremum der Funtion f(x,y) in einem Punkt [x_0,y_0], dann muss Folgendes erfüllt werden: So bekommen wir, dass folgendes System der nichtlinearen Gleichungen gelöst werden muss: 3) Die einzige Lösung (reelle) dieses Systems ist Aus den Werten der Ableitungen ergibt sich einfach, dass das die Funktion f(x,y) das Minimum im Punkt [0;1] hat. Zugleich gilt, dass f(0,1) = 2. 4) So haben wir das der minimale Abstand der Funktionen exp(x) und ln (x), die positive Zahl sqrt(2). 5) Die Aufgabe lässt sich aber auch von viel einfacher auffassen. In Betracht sollte es gezogen werden, dass die Funktionen zueinander invers sind und so haben sie die Symetrieaxe y=x. Hoffentlich hilft es dir. Ich denke, man könnte solchen Fall finden, in dem die Lösung nicht so trivial zu finden wäre. Am besten wäre es, die Kurven in 3D Räumen zu betrachten. mfg Marian |
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