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monotonie berechnen

Schüler Gymnasium,

Tags: Bruchfunktion

sarah3434 aktiv_icon

19:10 Uhr, 08.02.2014

hallo!
ich habe die aufgabe:

f (x) = (\frac{1}{x^{2} + 1})

ich weiß nicht wie ich davon die monotonie berechnen soll...ich denke man muss erst die ableitung/ extrempunkte berechnen, oder?also die ableitund wäre hier ja

\frac{- 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

denke ich...aber was sagt mir das jetzt? ich habe damit ja die hoch-bzw. tiefpunkte berechnet oder? Aber die ableitung hilft mir ja für die hochpunkte eig. auch nichts weil ich ja trotzdem keinen konkreten schnittpunkt habe...

bitte kann mir jemand erklären wie man schritt für schritt vorgeht wenn man die monotonie berechnen will?
Vielen dank im vorraus!:-)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Monotonieverhalten (Mathematischer Grundbegriff)

anonymous

19:26 Uhr, 08.02.2014

"ich denke man muss erst die ableitung/ extrempunkte berechnen, oder?"

Ja, das ist ein guter Ansatz.

"also die ableitund wäre hier ja

\frac{- 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

denke ich"

Da hast du dich verrechnet, überprüfe nochmal deine Rechnng. Richtig wäre:

f' (x) = \frac{- 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

"aber was sagt mir das jetzt? ich habe damit ja die hoch-bzw. tiefpunkte berechnet oder?"

Nein, damit hast du nicht die Hoch- bzw. Tiefpunkte errechnet, auch wenn man die erste Ableitung, dafür verwenden kann. Aber nach Hoch- bzw. Tiefpunkten ist ja auch nicht gefragt.
Du hast die erste Ableitung ausgerechnet, diese gibt dir die (Tangenten-)Steigung der Funktion an. Dort wo die erste Ableitung (also die Steigung) positiv ist, ist die Funktion (streng) monoton steigend, dort wo die erste Ableitung negativ ist, ist die Funktion (streng) monoton fallend.

Denn für differenzierbare, reelle Funktionen

f

und Teilmengen I der Definitionsmenge von

f

gilt:

f' (x) > 0

für

x \in I \Rightarrow f

ist streng monoton wachsend auf

I

f' (x) \geq 0

für

x \in I \Rightarrow f

ist monoton wachsend auf

I

f' (x) < 0

für

x \in I \Rightarrow f

ist streng monoton fallend auf

I

f' (x) \leq 0

für

x \in I \Rightarrow f

ist monoton fallend auf

I

Du schaust also, für welche

x \in ℝ

die erste Ableitung

f' (x)

positiv bzw. negativ. bzw. gleich 0 ist.

sarah3434 aktiv_icon

19:33 Uhr, 08.02.2014

erstmal vielen dank für deine antwort...du hast ja gesagt man schaut für welche

x

die funktion steigend oder fallend ist...aber woher weiß ich welche

x

ich probieren soll? einfach willkürliche zahlen? könntest du mir das vielleicht mal an meinem beispiel konkret vorrechnen?:-)

anonymous

19:56 Uhr, 08.02.2014

Die erste Ableitung

f'

ist offensichtlich als Verknüpfung stetiger Funktionen wieder stetig. Mit Hilfe des Zwischenwertsatz kann man also begründen, dass die erste Ableitung

f'

nur an ihren Nullstellen ihr Vorzeichen wechseln kann.
(Im Prinzip könnte man statt dem Zwischenwertsatz für stetige Funktionen auch den Zwischenwertsatz für Ableitung (Satz von Darboux) zur Begründung nehmen.)

Deshalb errechnet man ja auch die Nullstellen der ersten Ableitung, um die Hoch- bzw. Tiefpunkte von differenzierbaren, reellen Funktionen zu bestimmen, da das genau die Stellen sind, wo sich das Monotonie verhalten ändern kann, also die entsprechenden Punkte vorliegen können.

Wenn man jedenfalls die Nullstellen von

f'

ausrechnet. So weiß man, dass zwischen zwei benachbarten Nullstellen von

f'

sich das Vorzeichen von

f'

nicht ändert, so dass man einfach das Vorzeichen an einer beliebigen Stelle zwischen zwei benachbarten Nullstellen ansehen kann, um auf das Vorzeichen zwischen den Nullstellen zu schließen.

Wären also zum Beispiel

x_{1} = 2

und

x_{2} = 5

zwei benachbarte Nullstellen von

f'

und

f' (3) = - 7,

so wüsste man in diesem Fall, dass

f'

zwischen den beiden Nullstellen überall negativ wäre und

f

daher in diesem Bereich streng monoton fallend wäre.

Du solltest also die Nullstellen von

f'

ausrechnen. Diese teilen dann den Definitionsbereich

ℝ

in entsprechende Teilintervalle auf, in denen du dir entsprechende Funktionswerte ansehen kannst.

Allerdings wäre es in diesem Fall auch nicht schwer, direkt zu erkennen, in welchen Bereichen

f'

welches Vorzeichen hat. Schließlich ist der Nenner

{(x^{2} + 1)}^{2}

für alle

x \in ℝ

positiv, da er Quadrat einer rellen Zahl (größer als

1)

ist. Dahe wird das Vorzeichen von

f' (x)

komplett vom Zähler

- 2 x

betsimmt. Und da sieht man doch eigentlich sofort, für welche

x

dieser positiv bzw. negativ bzw. gleich 0 wird.

[

Notitz an mich: Beiträge kürzer fassen]

sarah3434 aktiv_icon

20:12 Uhr, 08.02.2014

vielen dank für die ausführliche antwort!!:-) ich werde es mal probieren wenn etwas unklar ist frage ich nochmal...

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