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n * q^n folge also unendlich mal null

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

Supersick aktiv_icon

22:53 Uhr, 27.03.2017

Ich habe also eine folge die so aussieht

: n \cdot q^{n}

und mein

q

ist

- 1 < q

und

< 0

Wie genau gehe ich hier vor? Ich weiß das

q^{n}

besser skalliert und irgentwann mal die Folge insgesamt ab einem

n_{0} > n

immer dominieren wird und die Folge immer kleiner wird und immer springt sie vom negativen zum positiven nähert sich aber die 0.

Wie soltle ich hier aber die Konvergenz beweisen und einen Grenzwert herausfinden?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

00:55 Uhr, 28.03.2017

Hallo
zeige deine richtige Vermutung, indem du zeigst

| n \cdot q^{n} | < ε

Gruß ledum

Supersick aktiv_icon

19:24 Uhr, 28.03.2017

Und genau hier ist mein Problem. Ich weiß das ich einfach sagen kann das ab einem bestimmten,

n 0 > n n

€N meine Folge immer in die Epsilon Umgebung sein wird, aber ich weiß nicht wie ich beweisen soll das sie fallend ist bzw steigend für die negativen zahlen.

Meine einzige Idee ist im moment eine Induktion durchzuführen um zu zeigen das

n \cdot q^{n} > (n + 1) \cdot (q^{n} + 1)

ist aber dies habe ich auch nicht geschafft

: (

//Kann ich einfach die Folge so umdrehen das ich zwei Nullfolgen habe?
Also

\frac{\frac{q^{n}}{1}}{\frac{1}{n}}

und anschließend L´Hospital anwenden? Wird mir das was bringen?

anonymous

21:06 Uhr, 28.03.2017

Hallo
Du hast nicht wirklich viel geschrieben.
Dürfen wir annehmen

a)

dass du den Grenzwert deines Ausdrucks für

n \to

Unendlich suchst?

b)

dass

n

aus den natürlichen Zahlen zu suchen ist?

Falls ja, dann wäre das Quotientenkriterium ein guter Tipp.

Supersick aktiv_icon

21:31 Uhr, 28.03.2017

Ich habe die Folge

a_{n}

mit

n

€

N

und muss sie auf Konvergenz untersuchen und den Grenzwert berechnen. Ich habe eine unbestimmte Form und mit L´Hospital bekomme ich als Grenzwert die 0 was ja sinn ergibt.

Allerdings weiß ich nicht wie ich es auf Konvergenz untersuchen sollte. Das Quotientenkriterium hatte ich bereits ausprobiert und ich habe

\frac{(n + 1) \cdot q^{n + 1}}{q}

bekommen was mich dann zum letzen Term

(n + 1) \cdot q^{n}

bringt aber selbst hier habe ich keine Aussage ob dies kleiner 1 ist um zu sagen es Konvegiert

ermanus aktiv_icon

22:20 Uhr, 28.03.2017

Hallo,
für das Quotientenkriterium bekomme ich den Ausdruck

∣ \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} ∣ = \frac{n + 1}{n} ∣ q ∣

.
Wie kommst Du auf Deinen seltsamen Ausdruck?

anonymous

22:24 Uhr, 28.03.2017

Also zusammenfassend:

a_{n} = n \cdot q^{n}

- 1 < q < 0

gesucht ist der Grenzwert:

lim_{n \to \infty} a_{n} = lim_{n \to \infty} n \cdot q^{n}

Ich hatte den Tipp 'Quotientenkriterium' gegeben.
Das Quotientenkriterium besagt, wenn

lim_{n \to \infty} | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | < 1

dann liegt Konvergenz vor.

Also, dann lass uns mal dieses Quotientenkriterium richtig stellen:

lim_{n \to \infty} | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | = lim_{n \to \infty} | \frac{(n + 1) \cdot q^{n + 1}}{n \cdot q^{n}} |

= lim_{n \to \infty} | \frac{(n + 1) \cdot q \cdot q^{n}}{n \cdot q^{n}} |

= lim_{n \to \infty} | \frac{(n + 1) \cdot q}{n} |

= lim_{n \to \infty} | (\frac{n}{n} + \frac{1}{n}) \cdot q |

= lim_{n \to \infty} | (1 + \frac{1}{n}) \cdot q |

= | q |

Und - ist das nun größer oder gleich oder kleiner als 1 ?

Supersick aktiv_icon

22:55 Uhr, 28.03.2017

Es ist auf jeden Fall kleiner als 1 ich habe wohl einen Rechenfehler gemacht(Das hat mich einige Stunden gekostet)^^. Das heißt ich weiß jetzt das es (Absolut) konvergiert. Doch wie gehe ich weiter für die Berechnung des Grenzwertes. Rein Theoretisch heißt das ja meine Folge wird immer kleiner kann ich somit einfach sagen das mein Grenzwert 0 sein wird?

anonymous

08:30 Uhr, 29.03.2017

Ja, ich biete das mal in meinen Worten an:
Die Exponentialfunktion

p^{n}

dominiert über die lineare (und jegliche Potenz-) Funktion

n

.

Da die Basis

p

"klein" ist, präziser

- 1 < p < 1

weiß jeder, der ein wenig davon versteht, dass der Ausdruck

p^{n}

für n->Unendlich gegen 0 konvergiert.

lim_{n \to \infty} p^{n} = 0

Supersick aktiv_icon

22:02 Uhr, 29.03.2017

Aber das Quotientenkriterium ist ja eine Aussage über meine Reihe doch weiß ich das meine Reihe konvergiert weiß ich automatisch das meine Folge eine Nullfolge ist wenn ich dies richtig verstanden habe.

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