n über 3

Hallo,

in der letzten Vorlesung haben wir uns zum Binomialkoeff. das aufgeschrieben:

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ 2\end{array}\right)=\frac{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1)}{2}}$ die Formel habe ich mir mit 2 gleichseitigen Dreiecken, die aus Punkten bestehen herleiten können.

Siehe 1. Bild bis Bild 3.

Das funktioniert für alle ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ 2\end{array}\right)}$. Ich habe auch noch einen Zusammenhang mit den Baumdiagrammen für ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ 2\end{array}\right)}$ gefunden.

Diesen Zusammenhang gibt es bei ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ 3\end{array}\right)}$ aber nicht.

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ 3\end{array}\right)=\frac{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1)(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-2)}{6}}$ Hier hänge ich irgendwie fest.

Im Zähler werden ja n, dessen Vorgänger (n-1) und der "Vorvorgänger" von n, multipliziert.

Wenn n=3 ist hatt man im Zähler 3! = 3*(3-1)*(3-2) stehen. Bei höheren n's werden immer die letzten 3 Faktoren multipliziert, n(n-1)(1-2).

Nur das bringt mich irgendwie nicht weiter.

Ich habe dann die Idee von ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ 2\end{array}\right)}$ genommen, dann aber aus den Punkten "Quader im Raum" gebaut. Damit kann man dann die Werte von allen ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ 3\end{array}\right)}$ berechnen. Nach der Formel "länge*breite*höhe" durch 6.

Siehe hierzu Bild 4.

Nur das funktioniert spätestens bei ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ 4\end{array}\right)}$ nicht mehr.

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ 2\end{array}\right)}$ konnte ich in 2D Zeichnen, bei ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ 3\end{array}\right)}$ in 3D und bei ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ 4\end{array}\right)}$ wird es wohl in 4D sein.

Also muss ich mir das ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ 3\end{array}\right)}$ mit Formeln herleiten, die nicht von Quadern stammen.

Vielleicht hat ja jemand einen Denkanstoff, wie ich ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ 3\end{array}\right)=\frac{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1)(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-2)}{6}}$ herleiten kann??

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ 2\end{array}\right)=\frac{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}!}{2!*(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-2)!}=\frac{1*2*3*\mathrm{...}*(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-3)*(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-2)*(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1)*\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{1*2*\mathrm{...}*(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-3)*(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-2)}}$

Wenn ich jetzt kürze beleibt das stehen:

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ 2\end{array}\right)=\frac{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}!}{2!*(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-2)!}=\frac{1*2*3*(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>})*(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-4)*(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-3)*(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-2)*(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1)*\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{1*2*(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>})*(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-4)*(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-3)*(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-2)}=\frac{3(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1)*\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{1}}$

${\displaystyle \frac{3*\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1)\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{1}\ne \frac{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1)}{2}}$

Bruch irgendwie erweitern??