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nicht abelsche Gruppen von 4
Universität / Fachhochschule
Gruppen
Tags: abelsche Gruppe, Gruppen, nicht abelsche
 
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Mein Problem ist, dass ich diese Aufgabe nicht lösen kann, kann mir jemand helfen wie ich an diese Aufgabe rangehen soll oder wie man sie löstboder was die Lösung wäre ? Anbei liegt noch ein Foto "Die Menge S4 der Permutationen von vier Zahlen bildet eine nicht-abelsche Gruppe (unter der in der Vorlesung definierten Verknüpfung von Permutationen). Beweisen Sie, dass die folgenden Teilmengen A und B Untergruppen von S4 sind: A = {(1, 2, 3, 4),(4, 2, 3, 1)} , B = {(1, 2, 3, 4),(2, 3, 1, 4),(3, 1, 2, 4)} . Zeigen Sie an einem konkreten Beispiel, dass A ∪ B keine Untergruppe von S4 ist."  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Es ist leicht einzusehen, dass A eine Untergruppe von ist: entspricht der identischen Abbildung, die zu sich selbst invers ist. entspricht der Permutation, bei der das 1. und 4. Element die Plätze tauschen. Führt man diese Permutation 2 Mal hintereinander aus ergibt sich wieder die ursprüngliche Permutation . die Abbildung ist ebenfalls zu sich selbst invers): Damit hat man im Wesentlichen auch schon gezeigt, dass A eine Untergruppe bildet. Ich hoffe, das hilft Dir ein wenig weiter um auch noch den Rest der Aufgabe zu lösen. |
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Mit A habe ich es jetzt verstanden. Danke vielmals. Bei B ist mir das aber immernoch unklar. Könnt ihr mir das rechnerisch evtl mal erklären wie ich das beweisen kann ? |
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Dass eine Untergruppe ist lässt sich am einfachsten zeigen, indem man und miteinander verknüpft. Es gilt nämlich: Das heißt die beiden Permutationen sind invers zueinander, womit gezeigt ist, dass für jedes Element aus ein inverses existiert. stellt das neutrale Element dar. Vielleicht noch ein paar Worte dazu, wie man die Verknüpfung ausrechnet. Man nimmt hierzu nacheinander die Elemente aus und setzt die entsprechenden Elemente aus in das Ergebnis ein. Wir fangen also mit der 2 an. Das heißt wir nehmen das 2. Element aus als 1.Element im Ergebnis, also die 1. Danach kommt die das heißt wir nehmen das 3. Element aus als 2. Element im Ergebnis, also die . |
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