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nicht vollständige Metrik

Universität / Fachhochschule

Mengentheoretische Topologie

Tags: abgeschlossene, arc tan, beschränkte Mengen, dx, Mengentheoretische Topologie, Metrik, nicht vollständig, y=?

Sonja-Sonne aktiv_icon

11:06 Uhr, 30.04.2010

Hallo, ich bräuchte mal ein bisschen Hilfe,

ich soll zeigen:

(ℝ, d)

mit der Metrik

d (x, y) =

|arctan

x -

arctan

y |

nicht vollständig ist.
Dafür soll ich eine abgeschlossene und beschränkte Menge angeben, welche nicht kompakt ist.

mein Ansatz: Ich habe mir bis jetzt überlegt, dass man eine nicht konvergente Cauchyfolge finden müsste, nur das ist mein Problem, das ich keine geeignete Cauchyfolge mit den notwendigen Eigenschaften (das sie in

ℝ

nicht konvergent ist) finde.

Kann ich für den 2. Teil der Aufgabe, also für die abgeschlossene Menge den Satz von Heine-Borel anwenden (da dieser ja eigentlich nur im

ℝ^{n}

anwendbar ist).

lg eure Sonja

PS: Lasst euch nicht von dem "import namespace quark" verwirren, ich hab keine Ahnung was das da macht oder ob ihr das überhaupt sehen könnt ;-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Sonja-Sonne aktiv_icon

12:15 Uhr, 03.05.2010

ich hab es nochmal selbst probiert, bin aber immer noch nicht viel weitergekommen...

wäre es vielleicht sinnvoll eine unendliche Metrik zu betrachten?
also eine

| . | \infty

und dann die Einheitskugel zu wählen?

pwmeyer aktiv_icon

14:22 Uhr, 03.05.2010

Hallo,

Betrache doch mal die Folge

x_{n} := n

. Da arctan(n)

\to \frac{π}{2}

ist die Folge eine Cauchy-Folge, aber nicht konvergent.

Gruß pwm

Sonja-Sonne aktiv_icon

15:07 Uhr, 03.05.2010

hallo, danke für deinen tipp, also ich hab es jetzt mal damit probiert und komme auf folgendes:

Vorraussetzung:

a_{n} = n

und

a_{m} = m

Behauptung: wenn es eine chauchyfolge ist, dann ist

(ℝ, d)

nicht vollständig

zu zeigen:

d (a_{n}, a_{m}) < ε

Beweis:

d (a_{n}, a_{m}) =

|arctan(a_n) - arctan(a_m)|
= |arctan(n) - arctan

(m) |

arctan(n)

\to \frac{π}{2}

lim

(arctan

n -

arctan

m) \to 0

für

n \to \infty

und

m \to \infty

zu zeigen:

a_{n}

nicht konvergent

a_{n} \to a

d (a_{n}, a) < ε

|arctan(n) - arctan(a)|->

| \frac{π}{2} -

arctan(a)| für

n \to \infty

und a beliebig aber fest

\leq | \frac{π}{2} | -

|arctan(a)|

= \frac{π}{2} -

|arctan(a)| mit arctan(a)

\leq \frac{π}{2}

\geq \frac{π}{2} - \frac{π}{2} \geq 0 \Rightarrow

divergent (da nicht kleiner als ein beliebiges

ε)

könnt ihr mir sagen ob diese lösung so richtig ist???????

pwmeyer aktiv_icon

16:34 Uhr, 03.05.2010

Hallo,

wenn ich Deine Abschätzung richtig sehe, hast Du einmal

\leq

und dann

\geq

abgeschätzt, was ja nichts bringt. Du kannst doch einfach schreiben:

d(a_n,a)=|arctan(a_n)-arctan(a)|

\to | \frac{π}{2}

-arctan(a)|

\neq 0

(allgmeine gilt ja:

a_{n} \to a \Leftrightarrow d (a_{n}, a) \to 0)

Gruß pwm

Sonja-Sonne aktiv_icon

16:04 Uhr, 04.05.2010

danke!!!

:-)

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