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nichtlineare Differentialgleichung 2.Ordnung

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Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

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mathemagnus

mathemagnus aktiv_icon

19:53 Uhr, 27.11.2015

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Guten Abend,

Lösen Sie das Anfangswertproblem

y \cdot y' \cdot y'' - 2 y' + 2 = 0, y (1) = 1, y' (1) = 1

das ist eine nichtlineare DGL 2.Ordnung, soweit bin ich schon gekommen.
Bei lineare DGl 2.Ordnung hatte ich keine Probleme, doch hier weiß ich nicht weiter.
Kann mir jemand weiterhelfen? Wie fange ich hier an?

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Online-Nachhilfe in Mathematik

Antwort

Loewe1

20:19 Uhr, 27.11.2015

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Hallo,

Substituiere so:

y' = p

y'' = \frac{d p}{d y} \cdot p

dann wird es deutlich einfacher
:-)

mathemagnus

mathemagnus aktiv_icon

11:24 Uhr, 29.11.2015

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Ich habe es gestern mit der Substitution versucht, aber bekomme es nicht hin.
ich weiß nicht wie ich

y''

als Substitution einsetzen soll.

LG

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Loewe1

11:57 Uhr, 29.11.2015

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Hallo,

Eingesetzt, ergibt das:

y \cdot p^{2} \cdot \frac{d p}{d y} - 2 p + 2 = 0

-->Trennung der Variablen:

y \cdot p^{2} \cdot \frac{d p}{d y} = 2 p - 2 | \cdot d y

y \cdot p^{2} \cdot d p = (2 p - 2) d y

\frac{p^{2}}{p - 1} d p = 2 \cdot \frac{d y}{y}

Durch Polynomdivision des linken Integrales erhält man:

\int (p + 1 + \frac{1}{p - 1})

dp=

\int 2 \frac{d y}{y}

mathemagnus

mathemagnus aktiv_icon

12:39 Uhr, 29.11.2015

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danke,

ich habe mal versucht weiter zu machen undzwar komme ich auf:

log (p - 1) + \frac{p^{2}}{2} + p - \frac{3}{2} = 2 \cdot log (y) + c_{1}

ist das richtig? Wenn ja würde ich mich wundern :-)

Antwort

Loewe1

14:32 Uhr, 29.11.2015

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Hallo,

also ich komme auf:

\frac{p^{2}}{2} + p + ln | p - 1 | = 2 ln | y | + C

Schau mal bitte, ob Du die Aufgabe richtig abgeschrieben hast?

mathemagnus

mathemagnus aktiv_icon

15:04 Uhr, 29.11.2015

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Danke ja ich hab mich mit der

- \frac{3}{2}

vertan.
wie wäre der nächste Schritt? jetzt rücksub? oder die Bedingung?

wenn ich es rücksub:

\frac{y'^{2}}{2} + y' + ln | y' - 1 | = 2 ln | y | + C

oder ist das falsch?

Antwort

Loewe1

23:38 Uhr, 29.11.2015

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Hallo,

das stimmt und nun die AWB einsetzen

Antwort

Manuel91

Manuel91 aktiv_icon

09:49 Uhr, 25.05.2017

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Habe ein sehr ähnliches Beispiel, wie setze ich dann die AWB richtig ein? Das verstehe ich nicht so ganz.. LG

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