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nilpotente Matrix
Universität / Fachhochschule
Tags: Charakteristisches Polynom, Nilpotent
 
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Hallo, ich habe eine nilpotente Matrix mit Ich konnte zeigen, dass die Eigenwerte sind Wie bekomme ich das charakterisitische Polynom jetzt heraus: Ich habe gelesen, dass dies aus EW=0 folgt, aber wie genau? Wenn ich für einsetze komme ich doch auf: ? Wo liegt mein Missverständnis:( Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Hallo, wegen kann die Determinanten von nicht von Null verschieden sein, da der zugrunde liegende Körper (offenbar ?) als solcher nullteilerfrei ist. Aus folgt doch , d.h. ist Lösung der Gleichung . Ich kenne da nur eine einzige Lösung. Und du? Statt einzusetzen in die Formel für das charakteristische Polynom solltest du für dich zwei Fragen beantworten: 1. Was wäre, wenn (und sei es auch nur über ) einen Eigenwert ungleich Null hätte? 2. Welchen Grad hat das charakteristische Polynom einer -reihigen Matrix? Mit den Antworten darauf solltest du auf die angegebene Antwort kommen. Mfg Michael |
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Ganz kurze Zwischenfrage: Mam erhält und nicht ? |
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Zu deinen Fragen: 1. Wenn es 1 EW gibt ungleich so erhält man mindestens 1 EV 2. Es müssen doch sein. Ich verstehe noch nicht wie du mit deiner 1. Rechnung den Zusammenhang zum charakteristischen Polynom herstellst? |
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Hallo, > Ich verstehe noch nicht wie du mit deiner 1. Rechnung den Zusammenhang zum charakteristischen Polynom > herstellst? Den gibt es auch nicht. Du hattest von einem Missverständnis gesprochen Ich dachte, damit das Missverständnis ausgeräumt zu haben. Wenn nicht, ist es auch nicht wichtig, da es nur um die beiden Fragen geht. Die zweite ist korrekt. Die erste stelle ich mal genauer: 1. Was wäre mit der Matrix , wenn einen Eigenwert ungleich Null hätte? Mfg Michael |
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Dann wäre sie nicht 0 aber ich kann das nicht begründen. |
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Hallo, > Dann wäre sie nicht 0 aber ich kann das nicht begründen. Hm, sei also irgendeine (quadratische) Matrix mit dem Eigenwert . Zugehöriger Eigenvektor sei , d.h. es gelte . Von links mit multipliziert: Allgemein: Ist irgendein Polynom, so gilt . Speziell: Kannst du jetzt begründen, warum nicht Null wäre, wenn einen EW ungleich Null hätte? Mfg Michael |
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Aus deiner Herleitung folgt ja dass wenn alle EW ungleich 0 sind oder? |
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Hallo, > Aus deiner Herleitung folgt ja dass wenn λ≠0 alle EW ungleich 0 sind oder? Nein. Es geht folgendermaßen: Annahme: sei EW von mit EV , d.h. es gelte (mit ) Dann (siehe Herleitung) gilt auch , d.h. ist ein EW von (ebenfalls mit EV , was hier aber nicht so wesentlich ist). Und außerdem gälte , weil in einem Körper (Körper sind nullteilerfrei!!!) die Gleichung nur genau eine Lösung kennt: [Wäre also , so ginge das nur mit , was wir oben in der Annahme aber ausgeschlossen haben!] Also haben wir bis hier geschlossen: hat Eigenwert , d.h. es gilt () Das steht aber im Widerspruch zu , denn für die Nullmatrix gilt: für jedwedes . Also Widerspruch zur Annahme. Ergo: Bei nilpotenten Matrizen kommen keine Eigenwerte ungleich Null vor. Mfg Michael |
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Danke das habe ich verstanden:-) Aber wie kommt das charakteristische Polynom ins Spiel? |
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Hallo, > Aber wie kommt das charakteristische Polynom ins Spiel? Nun, da ich annehmen muss, dass dein in > eigentlich das sein soll, über den Körper , über dem alle reellen Polynome zerfallen. Du weißt ja nun immerhin schon, dass dein char. Polynom den Grad hat. Über würde es zerfallen, also könnte man es schreiben als mit evtl. komplexen Zahlen . Damit hätte die Matrix über betrachtet die Eigenwerte (manche sind vielleicht Dopplungen, das wäre egal). Damit hätte doch aber als Matrix über betrachtet die Eigenwerte ... Du siehst, wie es weiter geht? Also muss gelten: und damit . Mfg Michael |
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Es muss gelten und deshalb Ich sehe immer noch nicht wie das folgen soll? |
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Hallo, > Ich sehe immer noch nicht wie das folgen soll? Du bist ein schwieriger Fall, was? Es folgt genauso wie zwei posts von mir darüber. Jedweder Eigenwert (egal ob reell oder Komplex) ungleich Null steht letztlich im Widerspruch zu : Annahme, sei ein Eigenwert (, reell aber erlaubt) und ein zugehöriger Eigenvektor. Dann ist auf jeden Fall ein EW von , ebenfalls zugehöriger EV . Wegen einerseits, andererseits muss also gelten: , d.h. es muss gelten (insbesondere da als Eigenvektor von 0 verschieden ist), sonst hättest du an dieser Stelle einen Widerspruch. Daraus folgt aber , da als Körper insbesondere nullteilerfrei ist! Soweit klar??? Dann weiter mit dem char. Polynom, von dem wir über wissen, dass es * Grad hat * über zerfällt. Damit sieht es etwa so aus: (wobei die nicht notwendigerweise verschieden sein müssen). Weil nun aber gilt, muss für jedes (bedenke, jedes ist als Nullstelle des char. Polynoms von über ein Eigenwert von ) gelten: Damit gilt für das char. Polynom über : Da nun aber aufgrund der Art und Weise, wie char. Polynome ausgerechnet werden, die char. Polynome von über und identisch sind, und weil das Polynom nur reelle Koeffizienten hat, deswegen ist das char. Polynom von über gerade . (Anmerkung: Wäre das so bestimmte Polynom nicht reell, so müsste es doch aber eine reelle Darstellung geben, da die Art der Bildung des Polynoms ja wie oben angesprochen NICHT vom Grundkörper abhängt. Man müsste dann (je) zwei Faktoren und zu zusammenfassen.) Hoffe, das erklärt es nun vollständig?! Mfg Michael |
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Tausend Dank:-) Sorry dass ich so lange gebraucht habe. Danke dir:-) |
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