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orientierungsumkehrende Bewegung

Universität / Fachhochschule

Tags: Translation

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22:29 Uhr, 28.04.2011

Ich soll beweisen, dass

β^{2}

eine Translation ist unter der Annahme, dass

β

orientierungsumkehrend ist.
Das ist mir intuitiv klar. Eine orientierungserhaltende Bewegung ist ja entweder eine Gleitspiegelung oder ein Spiegelung an einer Geraden. Wenn ich aber eine Spiegelung zweimal anwende lande ich wieder im selben Punkt. Das wäre eine Translation um 0 und bei einer Gleitspiegelung ist es ja eine Translation um a zusammengesetzt mit einer Spiegelung,

d . h

. wenn ich eine Gleitspieglung zweimal anwende habe ich eine Translation um

2 a

.
Aber wie kann ich genau formal beweisen, dass es sich bei

β^{2}

um eine Translation handeln muss?
Wäre froh um eure Hilfe. Vielen Dank!

Sina86

14:24 Uhr, 29.04.2011

Hi,

ist bekannt in welchem Raum du arbeitest? Mein erster Ansatz wäre es über die Determinante zu argumentieren.

Lieben Gruß
Sina

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14:49 Uhr, 29.04.2011

Äh, ja. Es handelt sich um

ℝ^{2}

. Die Determinante einer orientierungsumkehrenden Bewegung ist ja

- 1

. Die einer Translation wäre

+ 1

. Wie hilft mir das weiter?
Vielen Dank für deine Hilfe!!

Sina86

14:51 Uhr, 29.04.2011

Nun, allgemein gilt wohl, dass die Determinante einer bewegungsumkehrenden Transformation negativ und die einer Translation positiv ist ;-)

Wie berechnet man denn mit dem Determinantenmultiplikationssatz die Determinante

\det (A \cdot B)

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14:59 Uhr, 29.04.2011

Ach so. Ja klar.

det (A \cdot B) = det (A) \cdot det (B)

in dem Fall ist

det (β^{2}) = det (β) \cdot det (β) = (- λ) \cdot (- λ) = λ^{2},

wobei

λ \in ℝ^{+}

D . h

. die Determinante ist also positiv, das ist aber ja noch nicht hinreichend für eine Translation. Was kann ich denn noch zeigen?

Sina86

15:06 Uhr, 29.04.2011

Stimmt, ich bin da jetzt doch etwas auf dem Holzweg gelandet. Ich denk da noch mal drüber nach... Sorry :-)

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15:08 Uhr, 29.04.2011

Kein Problem...

Sina86

15:16 Uhr, 29.04.2011

Ok, die Gleitspiegelung lässt sich allgemein schreiben als

β (x) = A x + b

, wobei

b

ein konstanter Vektor ist (kann auch der Nullvektor sein, falls nur eine Spiegelung vorliegen soll) und

A

eine Spiegelungsmatrix ist.

Berechne nun für ein allgemeines

x \in ℝ^{2} : β^{2} (x) = β (A x + b) = A (A x + b) + b = A^{2} x + A b + b

Nun gilt aber, da

A

Spiegelung ist, dass

A^{2} = E

ist. Somit ist

β^{2} (x) = E x + (A b + b) = x + (A b + b)

und der Vektor

A b + b

ist wieder ein konstanter Vektor und somit ist das ganze eine Translation...

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15:25 Uhr, 29.04.2011

Ach so, ja klar. Vielen Dank für deine Hilfe! :-)

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