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orthogonale Normalform bestimmen

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Ringe

Tags: orthogonale Matrizen

hotSAUCEEE aktiv_icon

10:36 Uhr, 22.10.2013

Hi
ich habe folgende Matrix aus

O (3)

gegeben:

A := \frac{1}{4} (\begin{matrix} 2 & \sqrt{6} & \sqrt{6} \\ - \sqrt{6} & 3 & - 1 \\ - \sqrt{6} & - 1 & 3 \end{matrix})

Mit characteristischem Polynom:

X = (t - 1) \cdot (t^{2} - t + 1)

also zerfällt es nicht in Linearfaktoren.
Außerdem gilt Eig(A,1) = span

{(0, \frac{1}{\sqrt{2}}, - \frac{1}{\sqrt{2}}}

.

Jetzt möchte ich eine ONF

B

aus

O (3)

und

S

aus

O (3)

bestimmen mit:

S^{- 1} A S = B

.

Wie gehe ich jetzt vor??
Ich habe mir

(0, \frac{1}{\sqrt{2}}, - \frac{1}{\sqrt{2}})

als normierten EV zum EW 1 gewählt.
Ergänze ich diesen jetzt mit Hilfe von Gram-Schmidt zu einer ONB?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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10:50 Uhr, 22.10.2013

Du musst diesen Vektor nun einfach zu einer ONB ergänzen. Man sieht schnell, dass

(\begin{matrix} 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix})

und

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

es tun. Nun bleibt nur noch die Frage, ob die Drehrichtung auch korrekt ist. Daher musst du noch prüfen, ob schon

A \cdot b_{2} = \frac{1}{2} b_{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} b_{3}

erfüllt ist.

hotSAUCEEE aktiv_icon

10:58 Uhr, 22.10.2013

Kannst du mir bitte die zu überprüfende Gleichung

A \cdot b 2 = .

.
genauer erklären?

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11:13 Uhr, 22.10.2013

Du hast

A = \frac{1}{4} (\begin{matrix} 2 & \sqrt{6} & \sqrt{6} \\ - \sqrt{6} & 3 & - 1 \\ - \sqrt{6} & - 1 & 3 \end{matrix})

und

B = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix})

als Isometrienormalform. Außerdem haben wir die ONB

b_{1} = (\begin{matrix} 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ - \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}), b_{2} = (\begin{matrix} 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix})

und

b_{3} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

wobei

b_{1}

ein Eigenvektor von

A

zum Eigenwert 1 ist. Das Problem ist nun, dass wir uns nicht sicher sein können, ob die durch

S = (b_{1} | b_{2} | b_{3})

gebildete Matrix schon das tut was wir wollen. Wir können erstmal nur aussagen, dass

S^{- 1} A S

entweder

(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix})

ergibt oder

(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 & - \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix})

Dabei dreht die letztere Matrix um

- \frac{π}{3}

Wir wollen, dass

B

Abbildungsmatrix bezüglich einer Basis

{b_{1}, b_{2}, b_{3}}

ist. Schauen wir uns nun die zweite Spalte von

B

an, so liefert das die Bedingung

A \cdot b_{2} = \frac{1}{2} b_{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} b_{3}

. Daher prüfst du nun, ob unsere oben gewählte Basis diese Bedingung erfüllt. Falls ja, kann sie beibehalten werden, falls nein muss

b_{3}

durch

- b_{3}

ersetzt werden.

Edit: Ich habe es jetzt überprüft, die oben gewählte Basis ist schon richtig. Hättest du stattdessen

b_{3} = (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

als letzten Vektor geraten so wäre

A \cdot b_{2} \neq \frac{1}{2} \cdot b_{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} b_{3}

und hättest daran dann gesehen, dass

b_{3}

durch

- b_{3}

ersetzt werden muss.

hotSAUCEEE aktiv_icon

14:15 Uhr, 22.10.2013

Wie bestimme/finde ich die Matrix B?

Edit: bzw. wieso weiß ich, das mein Drehwinkel

\frac{\prod}{3}

ist? (daraus folgt dann ja die Matrix

B)

hotSAUCEEE aktiv_icon

18:12 Uhr, 22.10.2013

Gerne auch jemand anders, der es weiß. :-)

Shipwater aktiv_icon

19:34 Uhr, 22.10.2013

Verwende, dass die Spur eine Ähnlichkeitsinvariante ist.

hotSAUCEEE aktiv_icon

19:51 Uhr, 22.10.2013

"Ähnlichkeitsinvariante" sagt mir leider nichts.
Also ich habe hier ein "Rezept" zum Lösen solcher Aufgaben und nachdem ich die ONB

B

bestimmt habe soll ich die Matrix

MB(La)

= (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & a & b \\ 0 & c & a \end{matrix})

bestimmen, mit

a = cos (g)

Wie mache ich das?

Shipwater aktiv_icon

19:54 Uhr, 22.10.2013

Das bedeutet einfach, dass ähnliche Matrizen die selbe Spur haben. Die Spur von

A

ist 2 und die Spur der Isometrienormalform ist

1 + 2 cos (φ)

da 1 Eigenwert von

A

ist. Aus

2 = 1 + 2 cos (φ)

kannst du dann den Drehwinkel ermitteln.

hotSAUCEEE aktiv_icon

19:58 Uhr, 22.10.2013

Alles klar! Vielen Dank für die ausführliche Hilfe!

hotSAUCEEE aktiv_icon

20:00 Uhr, 22.10.2013

⋁

Shipwater aktiv_icon

14:15 Uhr, 23.10.2013

Gern geschehen.

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