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orthogonale Projektion auf eine Gerade

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Lineare Abbildungen

Tags: Linear Abbildung

agricola7 aktiv_icon

13:30 Uhr, 31.03.2019

Hallo,

Mit der Matrix

\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot ((1, - 1), (- 1,1))

kann ich eine beliebigen Punkt im

ℝ^{2}

auf die Gerade

x + y = 0

projizieren.

Aber ich versteh nicht genau wie man auf diese Matrix kommt? Vielleicht kann das jemand erklären.

Meine zweite Frage ist: Für eine Projektion muss ja immer gelten, dass

p^{2} = p

ist wenn ich aber die oben angegebenen Matrix quadriere so erhalte ich nur ((1,-1),(-1,1))?!

Danke

ermanus aktiv_icon

14:00 Uhr, 31.03.2019

Hallo,
die von dir angegebene Matrix ist falsch.
Sie muss

A_{p} = \frac{1}{2} (\begin{array}{rr} 1 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{array})

lauten.
Gruß ermanus

agricola7 aktiv_icon

14:17 Uhr, 31.03.2019

Hallo ermanus,

Danke für deine rasche Antwort.

Kannst du mir vlt noch verraten wie man darauf kommt bzw. welche Überlegung da dahinter steckt.

Ich hab versucht mir das irgendwie geometrisch zu veranschaulichen aber hat nicht viel geholfen.

Danke!

LG

ledum aktiv_icon

15:33 Uhr, 31.03.2019

Hallo
du musst doch um die Matrix zu finden, die 2 Basisvektoren

(1,0)

und

(0,1)

auf die Gerade

y = - x

bzw in Richtung

(- 1.1)

projizieren? entweder mit ner Skizze, oder über das Skalarprodukt, die Bilder der Basisvektoren ergeben die Matrix.
zur Übung, projizier mal auf die Gerade

y = 2 x

Gruß ledum

ermanus aktiv_icon

23:21 Uhr, 31.03.2019

OK!
Lass uns sehen, wie diese Matrix entsteht!
Sei

p

die in Rede stehende Projektion.
Die Gerade

g : x + y = 0

muss ja punktweise unter

p

fix bleiben.,
z.B. muss der Vektor

(1, - 1)^{T} \in g

fix bleiben, also

p ((1, - 1)^{T}) = (1, - 1)^{T} (1)

.
Wir wollen mit

p

orthogonal projizieren,
also werden unter

p

(1, - 1)^{T}

senkrechte Vektoren zu Null.

(1, 1)^{T}

ist ein solcher, also:

p ((1, 1)^{T}) = 0 (2)

.
In der

p

bzgl. der Standardbasis darstellenden Matrix sind die
Spalten gerade die Bilder der Einheitsvektoren.
Also wollen wir schauen, was

p

mit den Einheitsvektoren macht:
wir haben zunächst

(1, 0)^{T} = \frac{1}{2} ((1, - 1)^{T} + (1, 1)^{T})

und

(0, 1)^{T} = \frac{1}{2} (- (1, - 1)^{T} + (1, 1)^{T})

Daher ist

p ((1, 0)^{T}) = \frac{1}{2} ((p ((1, - 1)^{T}) + p ((1, 1)^{T}) = \frac{1}{2} ((1, - 1)^{T} + 0) = \frac{1}{2} (1, - 1)^{T}

.
und

p ((0, 1)^{T}) = \frac{1}{2} ((p (- (1, - 1)^{T}) + p ((1, 1)^{T}) = \frac{1}{2} (- 1, 1)^{T}

Damit ist die

p

darstellende Matrix:

A_{p} = \frac{1}{2} (\begin{array}{rr} 1 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{array})

.
Gruß ermanus

agricola7 aktiv_icon

13:07 Uhr, 01.04.2019

Cool danke,

würde ich im

ℝ^{3}

nach dem selben Schema vorgehen?

LG

ledum aktiv_icon

18:50 Uhr, 01.04.2019

Hallo
im

ℝ^{3}

kannst du auf eine Ebene projizieren, oder auf eine Gerade, was willst du? und versuch es doch einfach mal.
Gruß lul

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