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orthogonale Projektion - selbstadjungiert?

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Tags: Lineare Abbildungen, Orthogonale Projektion, Skalarprodukt, Vektorraum

anonymous

17:33 Uhr, 10.06.2010

Hallo :-)

Ich komme bei folgender Aufgabe nicht so wirklich weiter.

Es seien

(V, <, >)

ein Euklidischer Raum,

W \subseteq V

ein linearer Unterraum von

V

und prw:

V \to W

die orthogonale Projektion. Zeigen Sie, dass die Abbildung prw selbstadjungiert ist!

Also bis jetzt hab ich folgendes:

Sei

v \in V

mit

v = v' + v''

und

u \in V

mit

u = u' + u''

(wobei

u', v' \in W

und

u'', v'' \in W ⊥

(also das orthogonale Komplement zu

W)

Es gilt: prw(v)

= v'

prw(u)

= u'

und prw(v')

= v'

Um zu zeigen, dass die orthogonale Projektion selbstadjungiert ist, muss ich zeigen, dass:

<prw(v),

u > = < v,

prw(u)>

Also

<prw(v),

u > = < v', u > = < v', u' + u'' > = < v', u' > + < v', u'' > =

<v',prw(u)>

+ < v', u'' >

= < v - v'',

prw(u)>

+ < v', u'' > = < v,

prw(u)>

- < v'',

prw(u)>

+ < v', u'' > = . .

. ?

Egal was ich jetzt ersetze irgendwie dreh ich mich im Kreis und weiß nicht weiter.
Sieht jemand meinen Fehler und kann mir helfen?

Jellybaby

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