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partielle Integration von 2sin(X)cos(x)dx

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Integration, klasse 12, Leistungskurs, Mathematik, Partielle Integration

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xBenx

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14:52 Uhr, 21.10.2009

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Hi, hoffe Ihr könnt mir hier mal wieder weiterhelfen:

Ich habe große Schwierigkeiten bei der partiellen Integration von

sin (x)

und

cos (x)

.

Also das ist die Aufgabe:

\int

2sin(x)*cos(x)*dx

Gut ich zeig euch mal was ich gerechnet habe, bzw. wie weit ich gekommen bin:

\int

2sin(x)*cos(x)*dx = -2*cos(x)*cosx

- \int

-2cos(x)

\cdot - sin (x)

so jetzt der nächste Schritt wieder integrieren:

\int

2sin(x)*cos(x)*dx = -2*cos(x)*cosx - sin(x)*2sin(x)

- \int

2sin(x)*cos(x)*dx | jetzt minus die integration

2 \int

2sin(x)*cos(x)*dx = -2cos(x)*cos(x)-sin(x)*2sin(x) | mal einhalb

\int

2sin(x)*cos(x)*dx= ????

\to

was kommt hier hin? ich hab:

- {cos}^{2} (x) - {sin}^{2} (x)

wolfram integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=2sin%28x%29*cos%28x%29&random=false) sagt das hier:

- \frac{1}{2} \cdot

2cos(x)

kann ich nicht nachvollziehen. Entweder ich hab falsch gerechnet oder ich weiß einfach nicht wie ich das da zusammenfassen soll. Am besten wärs wenn mir das jemand mal komplett vorrechnen könnte.

Vielen Dank im voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Online-Nachhilfe in Mathematik

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HP7289

HP7289 aktiv_icon

15:20 Uhr, 21.10.2009

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\int 2 \cdot sin (x) \cdot cos (x) d x

= 2 \cdot \int sin (x) \cdot cos (x) d x

= 2 \cdot ({sin}^{2} (x) - \int cos (x) \cdot sin (x) d x)

Wir haben jetzt folgende Gleichung:

\int 2 \cdot sin (x) \cdot cos (x) d x = 2 \cdot ({sin}^{2} (x) - \int cos (x) \cdot sin (x) d x)

\int 2 \cdot sin (x) \cdot cos (x) d x = 2 \cdot {sin}^{2} (x) - 2 \cdot \int cos (x) \cdot sin (x) d x

\int 2 \cdot sin (x) \cdot cos (x) d x = 2 \cdot {sin}^{2} (x) - \int 2 \cdot sin (x) \cdot cos (x) d x | + \int 2 \cdot sin (x) \cdot cos (x) d x

2 \cdot \int 2 \cdot sin (x) \cdot cos (x) d x = 2 \cdot {sin}^{2} (x) | : 2

\int 2 \cdot sin (x) \cdot cos (x) d x = {sin}^{2} (x)

(Anmerkung:

{sin}^{2} (x) = 1 - {cos}^{2} (x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot cos (2 x) \Rightarrow - {cos}^{2} (x)

und

- \frac{1}{2} \cdot cos (2 x)

sind ebenfalls Stammfunktionen)

xBenx

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15:26 Uhr, 21.10.2009

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Hallo,

vielen Dank erstmal.

Eine Frage wär das demnach auch richtig:

\frac{1}{2} \cdot (cos (x) - 2 \cdot cos (x))

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HP7289

HP7289 aktiv_icon

15:29 Uhr, 21.10.2009

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\frac{1}{2} \cdot (cos (x) - 2 \cdot cos (x)) = \frac{1}{2} \cdot (- cos (x)) = - \frac{1}{2} \cdot cos (x) \to

keine Stammfunktion

xBenx

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15:37 Uhr, 21.10.2009

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Ich habe aber noch eine Rechnung gemacht die auch richtig zu sein scheint wo das rauskommt:

\int 2 \cdot sin (x) \cdot cos \cdot d x

Ich mache das immer mit einem uv-Schema (weiß nicht ob es bekannt ist:-)

u = cos (x) - - - - v = - 2 \cdot cos (x)

u' = - sin (x) - - - - v' = 2 \cdot sin (x)

und jetzt Einsetzen:

u \cdot v - \int v \cdot u'

\int 2 \cdot sin (x) \cdot cos \cdot d x =

cos(x)*(-2)*cosx

- \int - 2 \cdot cos (x) \cdot - sin (x) \cdot d x

ist dasselbe wie

\int 2 \cdot sin (x) \cdot cos \cdot d x =

cos(x)*(-2)*cosx

- \int cos (x) \cdot sin (x) \cdot 2 \cdot d x

|plus das integral

2 \int 2 \cdot sin (x) \cdot cos \cdot d x =

cos(x)*(-2)*cosx

| \cdot

einhalb

\int 2 \cdot sin (x) \cdot cos \cdot d x = \frac{1}{2} \cdot

(cos(x)*-2*cosx)

= \frac{1}{2} \cdot - cos (x)

ich finde den Fehler einfach nicht wo isser denn? Eig. müsst das doch stimmen?

Vielen Dank.

Antwort

HP7289

HP7289 aktiv_icon

15:48 Uhr, 21.10.2009

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In der letzten Zeile auf der rechten Seite steht:

\frac{1}{2} \cdot (cos (x) \cdot (- 2) \cdot cos (x))

= - {cos}^{2} (x)

Du hast es einfach falsch zusammengefasst.

Frage beantwortet

xBenx

xBenx aktiv_icon

15:50 Uhr, 21.10.2009

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ach jauuuuuuuuuu stimmt :-D)

vielen Dank jetzt hab ichs gerafft :-D)

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