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punktweise/gleichmäßige Konvergenz

Universität / Fachhochschule

Funktionenfolgen

Tags: Funktionenfolgen

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17:41 Uhr, 23.05.2017

Hallo zusammen,

ich sitze vor einer Aufgabe: Ich habe drei Funktionenfolgen:

f_{n} : R \to R, f_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n} {(\frac{1}{2 + x^{2}})}^{k}

h_{n} : [0,1] \to R, h_{n} (x) = n^{2} \cdot x {(1 - x^{2})}^{n}

g_{n} : R \to R, g_{n} (x) =

e^(-nx^2)

Ich soll angeben, ob diese gleichmäßig oder punktweise konvergieren.

Mein Ansatz zu

g :

Lim–

{

n->

\infty} g_{n} = 0 = : g,

denn es existiert ein

N = \frac{ln (e)}{x^{2}} + 1,

sodass für alle

n > N

gilt:

| g_{n} - g | < e

.Also ist

g_{n}

punktweise konvergent. Jetzt schaue ich mir das Supremum an:

| | g_{n} - g | | = | | g_{n} - 0 | | = | |

e^(-nx^2)

| |

Nehme ich jetzt

x = \frac{1}{n} : | | e^{- n \cdot \frac{1}{n^{2}}} | | = | | e^{- \frac{1}{n}} | | \to 1

für

n \to \infty

und somit ist sie nicht gleichmäßig konvergent.

Zu

h_{n} :

für

x = 1

oder

x = 0

ist

h_{n} = 0

für

0 < x < 1

gilt:

1 - x^{2} < 1 \Leftrightarrow {(1 - x^{2})}^{n} < 1

und auch

x {(1 - x^{2})}^{n} < 1

Da bekannt ist, dass eine Folge

n^{m} \cdot q^{n}

eine Nullfolge ist, wenn

| q | < 1,

konvergiert

h_{n}

also auch gegen 0 (hier:

m = 2

und

q = x^{\frac{1}{n}} (1 - x^{2})

. Also ist

h

punktweise konvergent.
Für die gleichmäßige gilt:

| | h_{n} - h | | = | | n^{2} \cdot x {(1 - x^{2})}^{n} | |

Aber für alle

x

aus

[0,1]

geht diese Supremumsnorm gegen

0,

also ist

h

gleichmäßig konvergent.

Stimmen meine zwei Begründungen soweit/bzw. sind sie mathematisch korrekt?

Und zur

f_{n} : \frac{1}{2 + x^{2}}

ist ja immer

< 1

. Und ich kenne die Reihe

\sum_{k = 0}^{\infty} q^{k},

die für

| q | < 1

gegen 0 läuft.
Leider ist das aber eine Reihe und hier habe ich eine Funktionenfolge. Ich weiß daher nicht, wie ich die Konvergenz von

f_{n}

prüfen/zeigen könnte.

Könnte mir evtl. jemand kurz helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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17:46 Uhr, 23.05.2017

Schreib immer, auf welcher Menge Du die Konvergenz untersuchst.

Wenn

0

drin ist, dann ist der punktweise Grenzwert von

g_{n}

nicht immer

0

,
bei

x = 0

ist es

1

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17:49 Uhr, 23.05.2017

Bei h) ist die Konvergenz nicht gleichmäßig.
Nimm

x_{n} = \frac{1}{\sqrt{n}}

. Dann konvergiert

n^{2} x_{n} (1 - x^{2})^{n}

gegen

+ \infty

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17:50 Uhr, 23.05.2017

Hallo,

ich habe punktweise Konvergenz zu verstanden, dass sie für ein beliebiges

x

konvergieren muss, während bei der gleichmäßigen Konvergenz für alle

x

Konvergenz vorhanden sein muss.

Die Menge, auf der ich Konvergenz nachweise soll, ist

ℝ

(da

g_{n} : ℝ \to ℝ)

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17:50 Uhr, 23.05.2017

f

hat eine konvergierende Majorante

\sum \frac{1}{2^{k}}

, daher gleichm. konvergent

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17:53 Uhr, 23.05.2017

"ich habe punktweise Konvergenz zu verstanden, dass sie für ein beliebiges konvergieren muss, während bei der gleichmäßigen Konvergenz für alle Konvergenz vorhanden sein muss"

Das ist nicht richtig. Gleichmäßig bedeutet "unabhängig von

x

".
Am besten schaue Dir die genaue Definition nochmal an.

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17:59 Uhr, 23.05.2017

Deine Argumentation für

g

bleibt trotzdem richtig, nur kannst Du nicht schreiben:

g_{n} \to 0

punktweise, denn die Grenzfunktion ist

0

für

x \neq 0

und

1

bei

x = 0

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18:02 Uhr, 23.05.2017

g_{n} :

Die Definition der punktweisen Konvergenz bei Funktionenfolgen heißt ja in etwa: wenn der Grenzwert

f (x) = lim (n \to \infty) f_{n} (x)

für jedes

x

aus dem Definitionsbereich existiert, konvergiert

f_{n}

punktweise gegen die dadurch definierte Grenzfunktion

f (x)

.

Für

x = 0

ist

g_{n} = 1

für

n \to \infty

Für alle

x

ungleich 0 ist der Grenzwert 0

Also ist die Grenzfunktion

g (x) = {1

(für

x = 0), 0

(für

x

ungleich

0)

und somit wäre doch

g_{n}

nach obiger Definition punktweise konvergent, oder?

Habe ich das jetzt richtig interpretiert?

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18:03 Uhr, 23.05.2017

Oh, Entschuldigung. Deine Nachricht habe ich zu spät gesehen...

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18:14 Uhr, 23.05.2017

h_{n} :

dass

| | h_{n} | | \to \infty

für

x = \frac{1}{\sqrt{n}}

kann ich nachvollziehen, aber kann ich das anwenden?

x

muss ja aus dem Intervall

[0,1]

kommen, aber nicht für alle

n

ist

x = \frac{1}{\sqrt{n}}

in diesem Intervall. Oder übersehe ich hier wieder ein Detail?

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18:18 Uhr, 23.05.2017

Du hast doch selber bei

g

die Folge

x_{n} = 1 / n

gewählt.
Ich habe etwas Ähnliches gemacht.
Du zeigst, dass das Supremum von

∣ h_{n} (x) - h (x) ∣

nicht gegen

0

geht, dafür reicht schon ein gut gewählter Punkt

x

pro ein

n

, also eine Folge

x_{n}

.

Dass aber in diesem Fall

∣ h_{n} (x_{n}) - h (x_{n}) ∣ \to \infty

, ist nicht ganz trivial,
dazu muss man wissen, dass

(1 - 1 / n)^{n} \to 1 / e > 0

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18:21 Uhr, 23.05.2017

Bei

g

habe ich die Folge gewählt, weil ich

g

auf dem Definitionsbereich

ℝ

auf Konvergenz untersuchen will,

h

hingegen ist ja aber nur auf dem Intervall

[0,1]

auf Konvergenz zu untersuchen. Kann ich dennoch

x = \frac{1}{\sqrt{n}}

setzen?

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18:24 Uhr, 23.05.2017

Wieso nicht?

\frac{1}{\sqrt{n}}

liegt doch immer im Intervall drin.
Nur darauf muss man aufpassen. Sonst ist der Bereich nicht wichtig.

(Mit einer Ausnahme: auf dem kompakten Intervall muss der gleichmäßiger Grenzwert einer stetigen Folge/Reihe auch stetig sein, so kann man manchmal ohne großen Aufwand sehen, dass keine gleichm. Konvergenz vorliegt).

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18:33 Uhr, 23.05.2017

"auf dem kompakten Intervall muss der gleichmäßiger Grenzwert einer stetigen Folge/Reihe auch stetig sein, so kann man manchmal ohne großen Aufwand sehen, dass keine gleichm. Konvergenz vorliegt "

\to

Danke für diesen guten Tipp :-) Das sieht man ja bei uns

z . b

. bei der g_n-Folge: Hier ist die Grenzfunktion nicht stetig und deshalb ist

g_{n}

nicht gleichmäßig konvergent? Verstehe ich das so richtig?

Jedenfalls vielen Danke für Deine Zeit und Hilfe! Ich glaube, jetzt kann ich die Aufgaben besser lösen. Viele Grüße!

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18:35 Uhr, 23.05.2017

"Verstehe ich das so richtig?"

Leider nein, denn wir untersuchen hier die Konvergenz auf der ganzen reellen Achse und nicht auf einem kompakten Intervall.

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18:38 Uhr, 23.05.2017

Achso, also gilt dieser "Tipp" wirklich nur für Konvergenzbetrachtungen auf kompakten Intervallen. Danke, dass Du mich nochmals aufgeklärt hast ;-)

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18:44 Uhr, 23.05.2017

Leide muss ich nochmal kurz stören:

Ich möchte jetzt bei der h_n-Folge zeigen, dass das Supremum

\to \infty

geht wenn ich

x_{n} = \frac{1}{\sqrt{n}}

wähle:

| | h_{n} (x_{n}) - h (x_{n}) | | =

?

Kann ich hier sagen, dass

h (x_{n}) = 0

ist (was ja eigentlich meine Grenzfunktion ist) und dann rechnen:

| | h_{n} (x_{n}) - h (x_{n}) | | = | | h_{n} (x_{n}) | | = | | n^{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{n}} \cdot {(1 - (\frac{1}{n}))}^{n} | | \to \infty

Oder muss ich das

h (x_{n})

in irgendeiner Weise mit berücksichtigen?

Tut mit leid für meine Begriffsstutzigkeit, aber bei diesen Konvergenzbetrachtungen fühle ich mich sehr unsicher, was die mathematische Behandlung anbelangt.

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18:46 Uhr, 23.05.2017

Du hast oben gezeigt, dass

h_{n}

punktweise gegen die

0

-Funktion konvergiert, also ist

h = 0

überall, daher ja, sie verschwindet aus der Norm.

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18:49 Uhr, 23.05.2017

Super, danke! Jetzt lasse ich Dich wirklich mit dieser Aufgabe in Ruhe...

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