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Pyramidenstumpf
Schüler Fachschulen, 10. Klassenstufe
Tags: Geometrie
 
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Es sind gegeben: Ein 6eckiger Pyramidenstumpf mit regelmäßiger Grund und Deckfläche: Grundkante: a1= 8,2 cm Deckkante: a2= 5,7 cm Volumen. V= 1687 cm hoch 3 Gesucht ist die Körperhöhe h, der Winkel alpha zwischen Grundfläche und Seitenfläche sowie die Oberfläche des Stumpf. Ich glaube, dass man die Körperhöhe h mit der Volumen Formel des Pyramidenstumpfs berechnen kann also V=h/3*(G1+Wurzel G1*G2+G2 Ich weiß nicht wie man die Grundfläche G1 und Deckfläche G2 berechnet, deswegen komme ich nicht weiter....???? Kann mir bitte jemand helfen??? Mit der Volumen Formel krieg ich dann die Körperhöhe h raus, dann muss ich die Körperhöhe h im stumpf einzeichnen damit ich ein rechtwinkligen dreick habe, dann muss man a1-a2 abzihen so kriegt man die eine Kathete raus. Dann mit dem Satz des Phythagoras die Seitenfläche s ausrechnen und den Winkel alpha mit sin alpha = h/hs. Und die Oberflächenformel weiß ich auch nicht!!! Bitte aufschreiben, wenn sie jemand kann:) |
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anonymous 11:18 Uhr, 23.02.2007 |
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Hallo, leider fehlen Angaben darüber, ob es sich um eine gerade Pyramide handelt und ob die Grund und die Deckfläche versetzt zueinander sind. Beide Angaben beeinflussen die Ergebnisse mindestens für den zu berechnenden Winkel entscheidend. Allein das Fehlen der Werte für die Schiefe und die Verdrehung lassen mich vermuten, daß es sich hier um einen regelmäßigen Körper handeln soll, mit dieser Annahme kann man weiterrechnen. Deine Volumenformel gilt tatsächlich, was Dir fehlt sind die beiden Flächen. Wie berechnet man denn die Fläche eines regelmäßigen Sechsecks, dessen Kantenlängen man kennt? Man zerlegt das Sechseck in 6 Dreiecke, von denen man weiß, daß es gleichseitige Dreiecke sind, also: A_6 = 6*A_3 Für die Berechnung von A_3 benötigt man zu der gegebenen Grundkante noch die Höhe, die berechnet man mit dem Pythagoras, da die Höhenlinie die Grundseite des Dreiecks in der Mitte schneidet (Hallo steele! Hier geht's um Pyramiden und man kann den Pythagoras verwenden! Das hattest Du ja bestritten, siehe www.onlinemathe.de/read.php?topicid=1000015670&read=1&kat=Schule ): a^2 = (a/2)^2 + h_3^2 h_3^2 = a^2 - a^2/4 = 3/4*a^2 h_3 = sqrt(3/4*a^2) = a/2*sqrt(3) A_3 = 1/2*a*a/2*sqrt(3) = 1/4*a^2*sqrt(3) A_6 = 6*1/4*a^2*sqrt(3) = 3/2*a^2*sqrt(3) Das gilt sowohl für die Grundfläche mit Kantenlänge a_1 als auch für die Deckfläche mit Kantenlänge a_2. G_1 = 3/2*a_1^2*sqrt(3) = 3/2*(8,2)^2*sqrt(3) = 3/2*67,24*sqrt(3) = 100,86*sqrt(3) = 174,69464445139696382517823800428 G_2 = 3/2*a_2^2*sqrt(3) = 3/2*(5,7)^2*sqrt(3) = 3/2*32,49*sqrt(3) = 48,735*sqrt(3) = 84,411496106869234900060097453289 V = h/3*(G_1 + sqrt(G_1*G_2) + G_2) h = 3*V/(G_1 + sqrt(G_1*G_2) + G_2) h = 3*1687/(100,86*sqrt(3) + sqrt(100,86*sqrt(3)*48,735*sqrt(3)) + 48,735*sqrt(3)) h = 3*1687/(149,595*sqrt(3) + sqrt(100,86*48,735)*sqrt(3)) h = 3*1687/(149,595*sqrt(3) + sqrt(4915,4121)*sqrt(3)) h = 3*1687/(149,595*sqrt(3) + 70,11*sqrt(3)) h = 3*1687/(219,705*sqrt(3)) h = 3*1687/(219,705*3)*sqrt(3) h = 1687/219,705*sqrt(3) h = 7,6784779590814956418834346054937*sqrt(3) h = 13,299513949926929265063617023374 Jetzt stelle Dir den Pyramidenstumpf mal vor (oder nimm Dir eine gute Projektionsgraphik). Such Dir eine Seite aus und ermittle die Mittelpunkte der Grundkante und der Deckkante. Das selbe machst Du auf der gegenüberliegenden Seite. Dursh diese 4 Punkte schneiden wir den Pyramidenstumpf und erhalten eine Schnittfläche in Form eines Trapezes und diese Fläche geht durch die Mittelgerade des Pyramidenstumpfes. Die Seitenflächen des Trapezes stehen gegen die Grundseite des Trapezes im gleichen Winkel wie die Seitenflächen zur Grundseite beim Pyramidenstumpf. Die Grundseite des Trapezes wird gebildet durch zwei mal die Höhe eines der oben betrachteten Dreiecke, in die wir die Grundfläche zerlegt haben. Die Deckseite des Trapezes wird gebildet durch zwei mal die Höhe eines der oben betrachteten Dreiecke, in die wir die Deckfläche zerlegt haben. Berechnen wir diese beiden Dreieckshöhen: h_1 = a_1/2*sqrt(3) = 8,2/2*sqrt(3) = 4,1*sqrt(3) = 7,1014083110323969034625300001741 h_2 = a_2/2*sqrt(3) = 5,7/2*sqrt(3) = 2,85*sqrt(3) = 4,9363448015713002865532220732917 Schauen wir uns nun eines der beiden Dreiecke am Rand des Trapezes an, das durch die Seitenkante, das Lot des oberen Punktes auf die Grundseite und dem kleinen Stück der Grundseite gebildet wird. Dieses Dreieck ist rechtwinklig, wir kennen die Höhe des Pyramidenstumpfes und damit die Länge der senkrechten Seite und die Länge der auf der Grundseite des Trapezes liegenden Seite kennen wir auch: h1-h2. Das reicht für den Pythagoras (Hallo steele, schon das zweite mal in der selben Aufgabe!). Bezeichnen wir die Länge der Seitenkante des Trapezes mal mit h_s: h_s^2 = h^2 + (h_1-h_2)^2 = (1687/219,705*sqrt(3))^2 + (4,1*sqrt(3)-2,85*sqrt(3))^2 h_s^2 = 2845969/48270,287025*3 + (4,1-2,85)^2*3 h_s^2 = 2845969/48270,287025*3 + 1,25^2*3 h_s^2 = 2845969/48270,287025*3 + 60337,85878125/48270,287025*3 h_s^2 = 2906306,85878125/48270,287025*3 h_s^2 = 60,209023768100330660919661270649*3 h_s = sqrt(60,209023768100330660919661270649*3) h_s = sqrt(60,209023768100330660919661270649)*sqrt(3) h_s = 7,7594473880618799296455666711814*sqrt(3) h_s = 13,4397571147807947274689618846 Der Winkel errechnet sich nun wie folgt: sin(alpha) = h/h_s sin(alpha) = (7,6784779590814956418834346054937*sqrt(3)) / (7,7594473880618799296455666711814*sqrt(3)) sin/alpha) = 7,6784779590814956418834346054937 / 7,7594473880618799296455666711814 sin(alpha) = 0,98956505213181057863212444680139 alpha = 81,715598282674827461514044125931° Bleibt als letztes die Oberfläche. Die Grundfläche und die Deckfläche haben wir bereits, dazu müssen wir nur noch die Mantelfläche addieren, die wir jetzt als letztes bestimmen werden: Die Seitenflächen des Pyramidenstumpfes sind ja Trapeze, die untere Seite ist so lang wie die Grundkante, die obere Seite so lang wie die Deckkante. Die Höhe der Seitenfläche haben wir im vorherigen Schritt so nebenbei berechnet, die ist h_s. Flächenformel für das Trapez: A_S = (a_1+a_2)/2*h_s A_S = (8,2+5,7)/2*7,7594473880618799296455666711814*sqrt(3) A_S = 6,95*7,7594473880618799296455666711814*sqrt(3) Mantelfläche: A_M = 6*A_S = 6*6,95*7,7594473880618799296455666711814*sqrt(3) A_M = 41,7*7,7594473880618799296455666711814*sqrt(3) A_O = G_1 + G_2 + A_M A_O = 100,86*sqrt(3) + 48,735*sqrt(3) + 41,7*7,7594473880618799296455666711814*sqrt(3) A_O = (100,86 + 48,735 + 41,7*7,7594473880618799296455666711814)*sqrt(3) A_O = (149,595 + 41,7*7,7594473880618799296455666711814)*sqrt(3) A_S, A_M und A_O mit dem Taschenrechner zu berechnen überlasse ich Dir. |
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| Dankeeeeeeeeee ich liebe dich wer auch immer du bist!!!!! | |
anonymous 15:23 Uhr, 26.02.2007 |
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Hallo, Zitat: "Dankeeeeeeeeee ich liebe dich wer auch immer du bist!!!!!" das tät' ich mir noch überlegen, vielleicht bin ich ein seit Jahren pensionierter Mathelehrer, der sich hier nur noch ein paar Bienen aufreißen möchte und dem das scheinbar auch noch gelingen könnte! Spaß beiseite, genieße hier alles mit Vorsicht, keiner, und ich nehme mich davon nicht aus, ist ohne Fehler. Rechne alles nach, was Du verstanden hast. Den Rest mußt Du nachfragen! Hier kann jeder helfen, sogar der berühmte Einäugige, der unter den Blinden der König ist. Trotzdem Danke, es meldet sich nicht jede(r), daß sie/er sich über die Hilfe freut, die meisten nehmen es einfach hin, ist ja umsonst, da muß man nicht Danke sagen! Großes Lob an Dich! |
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hehe Ja, ich hab alles nachgerechnet und es stimmt!!! Mein größtes problem ist, dass ich mit taschenrechnern nicht umgehen kann. Z.b wusste/weis ich immer noch nicht wie man die 3 wurzel oder wurzel aus 3 wie auch immer man des nennt zieht und aufgabenstellungen versteh ich oft auch nicht... Bin in Mathe wirklich nicht gut aber ich gebe mir echt mühe... Mit diesen Aufgaben hab ich probleme!!! Eine quadratischer Pyramidenstumpf ist gegeben: Grundkante a1=25 Deckkante a2=12 Volumen V=6414 Berechne die Körperhöhe h des Pyramidenstumpfs. Wie groß ist die Mantelfläche der zugehörigen Ergänzungspyramide? Die Körperhöhe h kriegt man durch die Volumen Formel raus. V=1/3*h(G1+wurzel G1*G2+G2) Aber was ist mit Ergänzungspyramide gemeint????? Vielleicht ist die Mantelfläche dieses Pyramidenstumpfs gemeint, und die Formel für die Mantelfläche ist dann 2*hs(a1+a2)dann muss man noch hs zu berechnen wäre das dann a1-a2/2im quadrat+ h im quadrat= hs im quadrat /wurzel.??? Aber logisch wäre es nicht, weil sonst wÜrde es nicht "ergänzung" pyramide heißen!!! Also muss so ne kleine Pyramide über den Pyramidenstumpf liegen. Und noch diese Aufgabe: Aus einem Zylinder ist eine Halbkugel ausgedreht. Gegeben sind: Zylinderhöhe h=12,5 cm Gesamtoberfläche O=810,5cm Berechne den Zylinderradius und das Volumen des Restkörpers. Die Gesamtoberfläche wär dann (ich glaubs): Oges= Mantel vom Zylinder+ Flächeninhalt vom Kreis+ halbe Kugel 810,5= 2*pi*r*12,5+ r im quadrat*pi+1/2*4*pi*r im quadrat 2*810,5/(2*pi*12,5+pi+4*pi)= was passiert mit den r's??? So könnte man vllt. r rausfinden. Und beim Volumen des Restkörpers: müsste man Zylinder+ Kreis - halbe kugel oder?? Wär echt nett, wenn sich jemand des zeug mal durchlesen würd;) Danke |
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anonymous 06:17 Uhr, 27.02.2007 |
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Hallo, Grund- und Deckfläche sind hier ja quadratisch und einfach zu berechnen. Zusammen mit dem gegebenen Volumen kannst Du also die Höhe des Pyramidenstumpfes einfach berechnen. Die dazugehörige Ergänzungspyramide ist die Pyramide, die man sich vorstellen kann, daß sie auf dem Pyramidenstump steht und zusammen mit diesem Pyramidenstumpf eine größere Pyramide ergibt. Also hast Du von dieser Ergänzungspyramide schon mal die Grundfläche gegeben, die ist gleich der Deckfläche des Pyramidenstumpfes. Was Dir zu den weiteren Berechnungen für die Ergänzungspyramide fehlt, ist die Höhe der Ergänzungspyramide. Die ermittelt man mit dem Strahlensatz. Schneide einfach die beiden übereinanderstehenden Pyramiden so auf, wie im obigen Fall, d.h. in der Mitte zweier gegenüberliegender Seiten. Jetzt siehst Du ein Dreieck mir einem Trapez unten dran. Zeichne die Hohe des gesamten Dreiecks ein und Du siehst zwei rechtwinklige Dreiecke auf einer Seite der Höhenlinie, ein großes und ein kleines. Nach Strahlensatz ist: (Höhe des kleinen Dreiecks)/(Halbe Deckkantenlänge) = (Höhe des kleinen Dreiecks + Höhe des Pyramidenstumfes)/(Halbe Grundkantenlänge) Halbe Deckkantenlänge und halbe Grundkantenlänge deshalb, weil die waagerechten Linien Deines Schnitts in voller Länge diese Kantenlängen bilden. Das "Halbe" kürzt sich ja sofort raus und das Ganze ist nur nach "Höhe des kleinen Dreiecks" umzustellen, das ist die Höhe der Ergänzungspyramide. Was Du jetzt auch noch siehst, ist die Höhe der seitlichen Dreiecksflächen der Ergänzungspyramide, die sind in Deinem Schnitt die schrägen Seitenflächen des kleinen Dreiecks. Nachdem du die höhe dieses kleinen Dreiecks berechnet hast, kannst Du in diesem kleinen Dreieck den Pythagoras für diese Seite anwenden. Die Seitenflächen der Ergänzungspyramide bilden die Mantelfläche der Ergänzungspyramide. Du mußt also die Dreiecksflächen berechnen (Grundseite der Dreiecke sind die Deckkanten, die Höhe hatten wir gerade) und mit 4 multiplizieren (quadratischer Pyramidenstumpf --> quadratische Ergänzungspyramide). Zum Zylinder: O = 2*pi*r^2 + 2*pi*r*h Gegebenes einsetzen und quadratische Gleichung für r lösen. Für dieses r das Volumen des Zylinders und der Halbkugel berechnen. V_zyl = pi*r^2*h V_kug = 4/3*pi*r^3 und das Volumen des Restkörpers berechnen: V_ges = v_zyl - V_kug |
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