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quadratischen Spline finden

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Tags: Newton-Form, Numerik, spline interpolation

krueger aktiv_icon

14:41 Uhr, 15.11.2024

Ich habe folgende Aufgabe zu lösen:

Ansatz: Die auf das Intervall

[x_{k - 1}, x_{k}]

beschränkte Spline Funktion lautet in Newton Form

c_{0} + c_{1} (x - x_{k - 1}) + c_{2} (x - x_{k - 1}) (x - x_{k})

. Dabei ist

c_{0} = σ_{k - 1}

. Ich weiß jedoch nicbt so ganz wie man hier jetzt weiter macht.

LG krueger.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

15:07 Uhr, 15.11.2024

Als erstes solltest du deinen drei Koeffizienten noch einen Intervallindex verpassen, denn das sind ja schließlich in jedem Intervall andere Werte, d.h, es soll gelten

s_{k} (x) = c_{k, 0} + c_{k, 1} (x - x_{k - 1}) + c_{k, 2} (x - x_{k - 1}) (x - x_{k})

und damit dann

s (x) := s_{k} (x)

gültig für

x \in [x_{k - 1}, x_{k}]

.

Diese

c_{k, 0}, c_{k, 1}, c_{k, 2}

für

k = 1, \dots, n

sind insgesamt

3 n

zu bestimmende Variable, für die du

3 n

Bestimmungsgleichungen benötigst.

1) Wegen

s \in C^{1} ([a, b])

bekommst du

2 (n - 1)

Gleichungen durch die Stetigkeitsforderungen an den Übergangsstellen

x_{1}, \dots, x_{n - 1}

sowohl für

s

als auch für die Ableitung

s ´

.

2) Weitere

n

Gleichungen ergeben sich durch die Funktionswerte

s (z_{k}) = y_{k}

für

k = 1, \dots, n

.

3) Die noch fehlenden zwei Gleichungen ergeben sich aus den beiden Randbedingungen an den Gesamtintervallenden

x_{0} = a

und

x_{n} = b

.

Na dann frisch voran!

Kleiner Tipp: Beim Formulieren der Gleichungen für 1)2)3) scheint es zweckmäßig, mit der Teilintervallbreite

d_{k} := x_{k} - x_{k - 1}

zu arbeiten - erspart einiges an Schreibarbeit, da dieser Term immer wieder auftaucht.

krueger aktiv_icon

18:04 Uhr, 15.11.2024

Danke dir für die Antwort. Also ich habe die Gleichungen nun aufgestellt in Abhängigkeit von

c_{k, i}

. Jetzt stellt sich mir die Frage, ob dies die Aufgabe schon löst. Zumal jetzt auch nicht der Tipp mit

σ_{i} = s (x_{i})

verwendet wurde, was ja prinzipiell kein Problem ist. Die Aufgabe kommt mir aber noch zu ungelöst vor.

LG krueger

HAL9000

18:29 Uhr, 15.11.2024

Für

i = 0, 1, \dots, n - 1

ist

s (x_{i}) = σ_{i}

in deinem Ansatz identisch mit

c_{i + 1, 0}

...

Und ja, mit geringem Aufwand lässt sich das lineare

3 n \times 3 n

-Gleichungssystem auf ein lineares

n \times n

-Gleichungssystem zurückführen, indem man die

c_{k, 1}

und

c_{k, 2}

mit Hilfe einiger der erwähnten Gleichungen eliminiert - vielleicht ist das mit dem Tipp gemeint.

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