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rekursiv definierte Folge

Schüler Ausbildungsstätte,

Tags: Beschränkt, Folge, Konvergenz, Monotonie

SoNyu

06:47 Uhr, 16.09.2013

Hi, ich habe folgende Aufgabe:

Ist die rekursiv definierte Folge

a_{0} := 1

a_{n + 1} := a_{n} + \frac{1}{a_{n}}

konvergent?
Stellen Sie eine Vermutung dazu auf und beweisen Sie diese.

Meine Vermutung ist, dass diese Folge divergiert.
Ich denke ich kann folgendes gebrauchen:

Satz:

Jede monoton wachsende, nach oben beschränkte Folge ist konvergent.

Ich prüfe also zu erst die Monotonie

a_{n} \leq a_{n + 1}

a_{n} + \frac{1}{a_{n}} \leq (a_{n} + \frac{1}{a_{n}}) + \frac{1}{a_{n} + \frac{1}{a_{n}}}

0 \leq \frac{a_{n}}{a_{n}^{2} + 1}

Die Folge wächst also monoton.

Nun würde ich gerne zeigen, dass die Folge nicht beschränkt ist, es also kein

y

gibt, so dass für alle

x \in M : x \leq y

Kann ich das eigentlich einfach so schreiben oder müsste ich vorher eine Menge

M

definieren. Etwa so:

M := {a_{n} + \frac{1}{a_{n}} : a_{0} = 1 \land a_{n} \in ℝ}

oder so ähnlich? Ich habe das vorher nie gemacht.

Oder entpuppt sich die Folge am Ende doch noch als Konvergent. Immerhin wäre

\frac{1}{a_{n}}

ja eine Nullfolge.

Es kann aber nur eine Nullfolge sein, wenn die Folge divergent ist, sonst würde der Nenner nicht gegen unendlich gehen und es wäre keine Nullfolge. Wenn es keine Nullfolge ist, dann kann die Folge nicht konvergieren und wenn die Folge konvergiert haben wir keine Nullfolge. :-)

So würde ich mir das Zusammenbauen, weshalb ich denke, dass die Folge divergiert.

Vielen Dank im Voraus.

P.S.: KEINE komplett Lösungen bitte!!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Monotonieverhalten (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

pwmeyer aktiv_icon

09:15 Uhr, 16.09.2013

Hallo,

Du vermutest, dass die Folge divergiert. Dann zitierst Du einen Satz, der ein hinreichendes Kriterium für die Konvergenz angibt und versuchst, die Voraussetzungen (speziell Beschränktheit) zu widerlegen. Du musst Dir klar machen, dass dadurch nichts gewonnen ist.

Allerdings ist jede konvergente Folge beschränkt. Wenn Du also zeigen kannst, dass die Folge unbeschränkt ist, hast Du auch Divergenz gezeigt.

Zur Sache selbst: Rechne doch einfach mal ein paar Folgenglieder aus, um einen Eindruck zu bekommen, ob die Folge konvergiert.

Bei rekursive definierte Folgen

a_{n + 1} = f (a_{n})

kann man leicht eine notwendige Bedingung herleiten die ein Grenzwert a erfüllen müsste, wenn er existiert. Das wäre hier wohl das einfachste.

Gruß pwm

SoNyu

18:35 Uhr, 16.09.2013

Ja, so habe ich mir das auch gedacht. Ich zeige, dass die Folge zwar monoton ist, aber unbeschränkt. Dadurch wollte ich die Konvergenz widerlegen.

Ich habe in die Folge Werte eingesetzt, aber die Folge schien immer weiter zu wachsen, selbst für "große" Werte. Bei 1000.0000 scheitert es dann am Taschenrechner, weil der rundet.

Die Folge kann nur konvergieren, wenn

\frac{1}{a_{n}}

eine Nullfolge ist. Dies kann aber nur eine Nullfolge sein, wenn die Folge ansich divergent ist.
So hatte ich mir das überlegt. Ich würde aber gerne wissen wie ich zeigen kann, dass die Folge nicht nach oben beschränkt ist.

SoNyu

18:36 Uhr, 16.09.2013

Kann ich es vielleicht einfach so machen:

Sei die Folge konvergent, und

l i m_{n \to \infty} a

dann ist

a = a + \frac{1}{a}

0 = \frac{1}{a}

Was ein Widerspruch wäre.

herbert1 aktiv_icon

21:01 Uhr, 16.09.2013

um es einfach zu machen: nein.

so geht es leider nicht.. aber ich denke, das weißt Du auch.

SoNyu

21:06 Uhr, 16.09.2013

Nein, sonst hätte ich es ja nicht gemacht.

herbert1 aktiv_icon

21:11 Uhr, 16.09.2013

. .

. war auch eher eine Vermutung.., nicht böse gemeint.

Welche Konvergenz-Kriterien habt Ihr denn kennengelernt?

Apfelkonsument aktiv_icon

21:14 Uhr, 16.09.2013

Ich muss zugeben, ich bin etwas verwirrt. Ich hätte die Konvergenz genauso gezeigt, wie der TE. Wohl mit einer etwas besseren Begründung. Aber dennoch von der Idee gleich.

Ist die Folge konvergent gegen einen Grenzwert

a

, so folgt daraus tatsächlich

\frac{1}{a}

= 0

SoNyu

21:14 Uhr, 16.09.2013

Gar keine.

Nur den Satz das wenn eine Monoton steigende Folge nach oben beschränkt ist diese auch konvergiert, welchen ich auch oben genannt hatte.

Edit:

@Apfelkonsument: Du gibst mir Hoffnung. :-)

herbert1 aktiv_icon

21:17 Uhr, 16.09.2013

. .

. mir ging es mit meiner kurzen Antwort um die formale Darstellung.

Da bin ich schon ausgestiegen und denke, in dieser Form kann man nicht argumentieren.

Apfelkonsument aktiv_icon

21:21 Uhr, 16.09.2013

Naja, aber die Idee war ja schon SEHR nah an der richtigen Lösung dran. Das sollte man dann schon sagen, denke ich.

An den TE. Woraus folgerst du genau

a = a + \frac{1}{a}

? Das musst du schon formal begründen.

SoNyu

21:30 Uhr, 16.09.2013

Ich habe einfach angenommen die Folge sei konvergent und hätte den Grenzwert

a

lim_{n \to \infty} a_{n} + \frac{1}{a_{n}} = lim_{n \to \infty} a_{n} + lim_{n \to \infty} \frac{1}{a_{n}}

= a_{n} + 0 = a_{n}

Habe dann einfach anstatt

a_{n}

eben

a

geschrieben.

herbert1 aktiv_icon

21:41 Uhr, 16.09.2013

Ich versuche, Deine Argumentationskette einmal anders hinzuschreiben.

Du nimmst an:

lim_{n \to 00} (a_{n}) = a,

dann gilt auch

lim_{n \to 00} (a_{n + 1}) = a

lim_{n \to 00} (\frac{1}{a_{n}}) = 0,

so folgt:

a = lim_{n \to 00} (a_{n + 1}) = lim_{n \to 00} (a_{n} + \frac{1}{a_{n}}) = lim_{n \to 00} (a_{n}) + lim_{n \to 00} (\frac{1}{a_{n}}) = a + 0

Letztendlich hast Du doch dann:

a = a + 0 . .

. also kein Widerspruch zu Deiner Annahme.

Ein Beweis für die Konvergenz oder Divergenz ist das leider nicht.

oder habe ich Dich falsch verstanden?

Apfelkonsument aktiv_icon

21:43 Uhr, 16.09.2013

"Habe dann einfach anstatt an eben a geschrieben.",
Nein, bleibe dabei, dass du annimmst, dass

lim_{n \to \infty} a_{n} = a

existiert und schreibe dann überall da, wo

a_{n}

hingehört auch das hin und überall, wo

a

hingehört

a

.

Das hier:

l i m_{n \to \infty} \frac{1}{a_{n}} = 0

ist dann natürlich Quatsch. Wie kommst du denn darauf?

SoNyu

21:51 Uhr, 16.09.2013

Wir hatten bewiesen, dass eben der Grenzwert von

l i m_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0

ist.

Das dies nicht das selbe ist, wie in dieser Aufgabe ist mir bewusst, den a_n muss ja nicht unbedingt gegen unendlich gehen.
Ich hatte mir es aber so gedacht, dass die Folge nur konvergieren kann wenn dies eben eine Nullfolge ist.

Ich nehme also an

l i m_{n \to \infty} a_{n} = a

Dann muss ich es jetzt so schreiben:

a = a_{n} + \frac{1}{a_{n}}

Apfelkonsument aktiv_icon

21:54 Uhr, 16.09.2013

In deiner Annahme, "

lim_{n \to \infty} a_{n}

existiert" steckt doch schon drin, dass

a_{n}

garnicht gegen unendlich gehen KANN.

a = a_{n} + \frac{1}{a_{n}}

macht schon wieder keinen Sinn..

Was ist denn

lim_{n \to \infty} \frac{1}{a_{n}}

nach Grenzwertsätzen, falls

a \neq 0

SoNyu

22:03 Uhr, 16.09.2013

Ja das ist ja gerade das Problem.

Wenn die Folge konvergiert, dann ist

\frac{1}{a_{n}}

keine Nullfolge und es kann nicht konvergieren, und wenn die Folge divergiert, dann wäre es eine Nullfolge und wir hätten konvergenz.
Ist wahrscheinlich Blödsinn, aber das hatte ich oben auch schon einmal genannt.

Mit

a = a_{n} + \frac{1}{a_{n}}

Hatte ich versucht deinen Ratschlag von oben umzusetzen, dass ich überall wo

a

hingehört es auch hinschreibe.

Den Grenzwert von

lim_{n \to \infty} \frac{1}{a_{n}}

für

a \neq 0

kann ich doch so leicht gar nicht bestimmen. Das hängt ja nicht vom Index ab. Wenn der Nenner gegen unendlich gehen würde, dann wäre der Grenzwert Null. Wenn der Nenner gegen Null geht, dann unendlich. Kommt ja dann noch darauf an ob er positiv oder negativ ist, auch wenn das hier eher ein geringeres Problem ist.

a_{n}

ist natürlich größer als Null und

a_{n}

geht auch nicht gegen Null, aber damit ist immer noch nicht klar, ob es gegen unendlich geht.

Apfelkonsument aktiv_icon

22:08 Uhr, 16.09.2013

Hattet ihr nicht die Aussage, dass, falls

lim_{n \to \infty} a_{n} = a

und

a \neq 0

, dass dann

lim_{n \to \infty} \frac{1}{a_{n}} = \frac{1}{a}

Respon

22:08 Uhr, 16.09.2013

Die Folge ist streng monoton wachsend.
Angenommen, es existiert ein Grenzwert

a,

also

lim_{n \to \infty} a_{n} = a

.
Dann müsste die Differenz aufeinanderfolgender Glieder eine Nullfolge sein.

a_{n + 1} - a_{n} = a_{n} + \frac{1}{a_{n}} - a_{n} = \frac{1}{a_{n}}

\frac{1}{a_{n}}

kann aber nur eine Nullfolge sein, wenn

a_{n}

nach

\infty

geht, also Widerspruch zu

lim_{n \to \infty} a_{n} = a

( Cauchy-Kriterium )

SoNyu

22:09 Uhr, 16.09.2013

Doch. Sehe es gerade in dem Skript. *schäm*

Apfelkonsument aktiv_icon

22:12 Uhr, 16.09.2013

Ich bin sicher, der TE möchte jetzt trotzdem auch seine Lösung noch fertig machen:

Was ist also

lim_{n \to \infty} (a_{n} + \frac{1}{a_{n}})

SoNyu

22:17 Uhr, 16.09.2013

Da liegst du richtig. Ich halte von diesen Komplettlösungen die einfach mittendrin von irgendwelchen Außenstehenden wärend des Gesprächs TE und Helfer gepostes werden als überflüssig und unnötig. Zumal ich im ersten Beitrag auch darum gebeten hatte eben keine Komplettlösungen zu bringen.

Also, wir nehmen an, dass

lim_{n \to \infty} a_{n} = a

Dann ist

lim_{n \to \infty} a_{n} + \frac{1}{a_{n}} = lim_{n \to \infty} a_{n} + lim_{n \to \infty} \frac{1}{a_{n}}

Für

a \neq 0

gilt dann

a + \frac{1}{a} = a

\frac{1}{a} = 0

Was ein Widerspruch ist.

Apfelkonsument aktiv_icon

22:21 Uhr, 16.09.2013

Ja, du solltest aber auch kurz noch erwähnen, warum auf der anderen Seite der Gleichung auch ein

a

steht.

Das ist aber mit

a = lim_{n \to \infty} a_{n} = lim_{n \to \infty} a_{n + 1} = lim_{n \to \infty} (a_{n} + \frac{1}{a_{n}}) = . . .

schnell getan :-)

Außerdem kannst du

a = 0

wegen der Monotonie ausschließen. Alles zusammengenommen bist du dann fertig ;-)

herbert1 aktiv_icon

22:26 Uhr, 16.09.2013

Wenn die Kritik an RESPON gerichtet war, so möchte ich gerne darauf hinweisen, dass vieles ja vorher diskutiert wurde. Und langsam ist es ja doch spät...

Formal nur noch eine "Kleinigkeit", die aber relevant sein kann-
und
in Deinem Beweis an der kritischen Stelle nur nicht explizit hingeschrieben wurde.

Zu beachten ist:

Nur wenn

lim (a_{n}) = a

und

lim (b_{n}) = n,

so gilt

lim (a_{n} + b_{n}) = lim (a_{n}) + lim (b_{n}) = a + b

Gute Nacht.

SoNyu

22:32 Uhr, 16.09.2013

Ja die Kritik war größtenteil ans Respon gerichtet. Und wenn jemand denkt er müsste hier eine Komplettlösung posten, weil es spät wird, dann verstehe ich das nicht so richtig. Das würde ich höchstens verstehen wenn der Helfer bevor er ins Bett geht noch einmal ausführlicher wird, oder eben eine Komplettlösung postet, aber doch nicht jemand der mit dem Thread eigentlich nichts zu tun hat und dann einfach mit einer Lösung reinplatzt, damit alles zeitig ins Bett kommen...

Vielen Dank Apfelkonsument für deine Hilfe. Ich werde meinen Beweis dahingehend verbessern.

Mathe45

22:35 Uhr, 16.09.2013

Mathematik ist eine Wissenschaft, die sich durch logische, knappe und präzise Formulierungen auszeichnen soll.
Vielleicht sollten sich das die "Jungmathematiker" einmal zu Herzen nehmen.

Apfelkonsument aktiv_icon

22:37 Uhr, 16.09.2013

Der TE ist ein

S c h ü l e r

, kein Jungmathematiker(steht zumindest in dieser Rubrik).

Falls das in meine Richtung ging, so verstehe ich den Kommentar nicht. Denn woher solltest du wissen, wie kurz/lang/elegant ein Beweis von mir selbst dazu ausfallen würde?

SoNyu

22:45 Uhr, 16.09.2013

Ich habe lieber eine logische, lange Formulierung als gar keine.
Wenn ich irgendwann mal einen kürzen Weg finde ist das schön und gut. Für den Augenblick recht es mir, dass ich die Aufgabe mit Hilfe von Apfelkonsument gelöst habe. Ob es nun auch eine elegantere Lösungsmethode gibt ist mir erstmal egal.

Mit den mir bekannten Möglichkeiten konnte ich die Aufgabe lösen. Wenn ich mal tiefer in der Mathematik drin bin kann ich nochmal zu dieser Aufgabe zurückkehren und mich darüber ärgern wieso ich so einen "langen" weg eingeschlagen haben.

Ein altmathematiker sollte sich dabei zu Herzen nehmen und sich fragen wie es ihm damals ging. Zumal ich gar kein Mathematiker bin. Ich bin Schüler und mache das Hobbymäßig, dass ich Skripte mit Aufgaben die ich im Internet finde durcharbeite, oder mit dem Buch das ich mir gekauft habe...

Bummerang

22:48 Uhr, 16.09.2013

Hallo,

ich möchte hier einfach mal etwas mehr mathematischen Formalismus rein bringen.

Die Folge

{(a_{n})}_{n \in ℕ}

mit

a_{0} = 1

und

a_{n + 1} = a_{n} + \frac{1}{a_{n}}

ist streng monoton wachsend und damit gilt für alle

n : a_{n} \geq 1 > \frac{1}{2}

.

Gäbe es einen endlichen Grenzwert

a = lim_{n \to + \infty} a_{n},

so gäbe es zu jedem

ε > 0

ein

n (ε),

so dass für alle

n > n (ε)

gilt:

| a_{n} - a | < ε

(das ist Anwendung der Grenzwertdefinition). Sei nun

ε

hinreichend klein gewählt, so zum Beispiel

ε < min (\frac{1}{2}; \frac{1}{4 \cdot a})

. Ausserdem ist wegen

a_{n} \geq 1

für alle

n

klar, dass auch

a \geq 1 = 2 \cdot \frac{1}{2} > 2 \cdot ε

gelten muss.

Damit aber auch das Folgeglied

a_{n + 1}

diese Bedingung erfüllt, darf der Summand

\frac{1}{a_{n}},

der zu

a_{n}

addiert wird, nicht grösser als

2 \cdot ε

sein. Dann gilt also für alle

n > n (ε) :

\frac{1}{a_{n}} < 2 \cdot ε

Den Wert

\frac{1}{a_{n}}

kann man (unser

a_{n}

ist ja aus der epsilon-Umgebung von

a)

nach unten abschätzen durch

\frac{1}{2 \cdot a},

denn es gilt:

1 \leq a_{n} < a + ε < a + \frac{1}{2} < a + a = 2 \cdot a \Rightarrow \frac{1}{a_{n}} > \frac{1}{2 \cdot a}

was nichts anderes bedeutet als:

\frac{1}{2 \cdot a} < \frac{1}{a_{n}} < 2 \cdot ε

\frac{1}{2 \cdot a} < 2 \cdot ε

\frac{1}{4 \cdot a} < ε

Das steht aber im Widerspruch dazu, dass

ε

beliebig klein, und vor allem kleiner als 1/(4*a),ist, denn es hat offensichtlich eine größere, feste untere Schranke. Damit ist die Annahme, es gäbe einen endlichen Grenzwert

a,

falsch und die Folge ist divergent.

SoNyu

22:55 Uhr, 16.09.2013

Vielen Dank Bummerang für deine Lösung. Die ist auch sehr nett und Lehrreich was die Anwendung der Grenzwertdefinition angeht.

Ich hatte diese nicht angewendet, da man ja sogesehen einen Grenzwert schon kennen muss damit es sinnvoll klappt. Jedenfalls habe ich das so verstanden.
Hier habe ich nun eine Idee bekommen wie man sowas lösen kann und erfolgreich zum Widerspruch führt.

Mathe45

22:58 Uhr, 16.09.2013

@Bummerang
Was ich meinte

... .

. logisch, knapp, präzise.

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