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satz von bayes

Schüler Gymnasium,

Tags: satz von bayes erkennen

chupchup aktiv_icon

20:59 Uhr, 18.03.2012

hallo,

ich lern grad für das Matheabi und irgendwie komm ich bei Stochastik total durcheinander.
Kann mir jemand erklären, woran ich an der Aufgabe erkenne, ob nach der Bedingten Wahrscheinlich gefragt wird oder nicht?
Wenn da zb steht "wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass

B

unter der Bedingung von A auftritt.", dann ist es ja klar. Aber es steht ja nicht immer so.
Hab hier als Beispiel zwei Aufgaben. Also ich hätte gedacht, dass beides nach dem gleichen gefragt wird.

\frac{:}{}

Bei der Produktion eines Kinderspielzeugs sind zwei Fehler aufgetreten,

10 %

einen Funktionsfehler,

20 %

einen Farbfehler und

75 %

sind fehlerfrei.

a)

mit welcher Wahrscheinlichkeit hat ein Spielzeug beide Fehler?

b)

mit welcher Wahrscheinlichkeit hat ein funktionsfehlerhaftes Spielzeug einen Farbfehler?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

KalleMarx aktiv_icon

21:49 Uhr, 18.03.2012

Moin chupchup!

Es ist in der Tat nach zwei unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten gefragt.

Vorweg meine Nomenklatur:

P (F) = 0, 1

absolute Wahrscheinlichkeit eines Funktionsfehlers

P (\bar{F}) = 0, 9

abs. Wahrscheinlichkeit für Funktionstüchtigkeit (Gegenwahrscheinlichkeit zu

P (F)

)

P (C) = 0, 2

absolute Wahrscheinlichkeit eines Farbfehlers (

C

für Colour)

P (\bar{C}) = 0, 8

abs. Wahrscheinlichkeit für Farbkorrektheit (Gegenwahrscheinlichkeit zu

P (C)

)

Bei a) ist die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge der Ereignisse

F

und

C

gefragt. Das heißt, Du betrachtest alle Spielzeuge und willst wissen, mit welcher Wahrscheinlichkeit Du beim zufälligen Auswählen eines Teils ein sowohl funktionsuntüchtiges als auch farbverfälschtes Spielzeug in der Hand hast.
Bei b) ist hingegen die Wahrscheinlichkeit gefragt, daß unter den funktionsfehlerhaften Spielzeugen eines mit Farbfehler zu finden ist. Du betrachtest hier also nur die nicht funktionierenden Spielzeuge und willst wisse, mit welcher Wahrscheinlichkeit Du zufällig eines mit einem Farbfehler greifst.
Da die Wahrscheinlichkeiten (höchstwahrscheinlich) abhängig von einander sind, darf man nicht einfach die absoluten Wahrscheinlichkeiten gemäß der multiplizieren. Weiß man nicht, ob Abhängigkeit besteht oder nicht rechnet man zunächst mit Abhängigkeit. Falls die Ereignisse unabhängig sind, kann man das am Ende der Rechnung beweisen. Die Rechnung ist damit trotzdem richtig.

Bei solchen Aufgaben geht man folgendermaßen vor:
Zunächst hilft natürlich ein Baumdiagramm. Das ist aber hoffentlich kein Problem und ich schenke mir das hier mal; beziehe meine Rechnung aber auf ein Baumdiagramm mit den Ereignissen

F

und

\bar{F}

in der ersten Stufe. Im Baumdiagramm siehst Du, daß Du die Wahrscheinlichkeit

P (\bar{F} \cap \bar{C}) = P (\bar{F}) \cdot P_{\bar{F}} (\bar{C}) = 0, 75

gegeben hast. Daraus berechnen wir zuerst die bedingte Wahrscheinlichkeit

P_{\bar{F}} (\bar{C}) = \frac{P (\bar{F} \cap \bar{C})}{P (\bar{F})} = \frac{0, 75}{0, 9} = \frac{5}{6}

.
Über die Gegenwahrscheinlichkeit erhalten wir nun

P_{\bar{F}} (C) = 1 - P_{\bar{F}} (\bar{C}) = \frac{1}{6}

und somit

P (\bar{F} \cap C) = P (\bar{F}) \cdot P_{\bar{F}} (C) = \frac{3}{20} .

Weiterhin gilt:

P (C) = P (F \cap C) + P (\bar{F} \cap C)

= P (F) \cdot P_{F} (C) + P (\bar{F} \cap C)

Das stellen wir nach

P_{F} (C)

um:

P_{F} (C) = \frac{P (C) - P (\bar{F} \cap C)}{P (F)} = \frac{\frac{2}{10} - \frac{3}{20}}{\frac{1}{10}} = \frac{1}{2}

.
Das ist also schon mal die Lösung zu Aufgabe b).

Damit erhalten wir auch sofort die Lösung zu a):

P (F \cap C) = \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{20}

Klar soweit?
Gruß - Kalle.

chupchup aktiv_icon

22:30 Uhr, 18.03.2012

Hallo Kalle,

danke für deine Antwort.
Ich hab statt mit dem Baumdiagramm mit dem Vierfeldertafel berechnet und hab bei

a) 0,05

raus.

Lg,

chupchup

chupchup aktiv_icon

22:43 Uhr, 18.03.2012

Wie kommst du bei

b)

auf das Ergebnis?
Gefragt ist ja wie du gesagt hast die Wahrscheinlichkeit, dass

C

eintritt unter der Bedinung von F.

P F (C) = \frac{F \cap C}{F}

\Rightarrow 0,1 \cdot \frac{0,5}{0,1} \cdot 0,5 + 0,1 \cdot 0,5 = 0,5

oder?

KalleMarx aktiv_icon

22:43 Uhr, 18.03.2012

Ich denke, ich weiß was Du meinst und habe das ja versucht, zu erklären.
Zweiter Versuch (ich mag Bäume lieber als Feldertafeln, daher erstmal mit Baum):
Der Baum ist zweistufig und hat als erstes Ereignis die Funktion. Das Zweite Ereignis ist die Farbe. Es gibt dementsprechend Insgesamt vier Ergebnisse:
1.

{F C}

{F \bar{C}}

{\bar{F} C}

{\bar{F} \bar{C}}

a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat ein Spielzeug beide Fehler?
Dies ist die Wahrscheinlichkeit, daß unter ALLEN Spielzeugen das Ergebnis

{F C

auftritt. Man muss also den ersten (meinen obersten) Pfad beschreiten:

P (F \cap C) = P (F) \cdot P_{F} (C)

.

b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat ein funktionsfehlerhaftes Spielzeug einen Farbfehler?
Dies ist die Wahrscheinlichkeit, daß nur unter den kaputten Spielzeugen (Ereignis F ist vorausgesetzt, also Bedingung) eines mit Farbfehler anzutreffen ist.
Hier muss man sich also auch den Pfad zum Ereignis

F C

vornehmen, doch ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit nicht die des Ergebnisses

F C

, sondern die Teilwahrscheinlichkeit des hinteren Pfadabschnittes:

P_{F} (C) = \frac{P (F \cap C)}{P (F)}

.

Mmm, daß Du ein anderes Ergebnis hast, ist erstmal nicht gut. Ich schau noch mal drauf, ob ich einen Fehler gemacht habe.

chupchup aktiv_icon

22:49 Uhr, 18.03.2012

ok...ich glaube ich habe es einigermaßen verstanden.
Danke für die Mühe

=)

chupchup aktiv_icon

22:49 Uhr, 18.03.2012

ok...ich glaube ich habe es einigermaßen verstanden.
Danke für die Mühe

=)

Matlog aktiv_icon

23:16 Uhr, 18.03.2012

Hallo Kalle,

stundenlanges Rechnen ermüdet!

In Deiner ersten Antwort hast Du für

P (\bar{F} \cap C) = \frac{1}{6}

eingesetzt, müsste aber

\frac{9}{10} \cdot \frac{1}{6}

sein.

Bin kein Weltverbesserer, aber Du hast Dich doch über widersprüchliche Ergebnisse gewundert!

Gruß, Matlog

KalleMarx aktiv_icon

23:20 Uhr, 18.03.2012

Danke, Matlog!
Das habe ich auch gerade gesehen und es korrigiert.
Beide Lösungen - mit Baum und mit Vierfeldertafel - stimmen also überein.

Gruß - Kalle.

chupchup aktiv_icon

23:25 Uhr, 18.03.2012

Danke!

chupchup aktiv_icon

23:25 Uhr, 18.03.2012

Danke!

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