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Schnittgerade zweier Ebenen in Parameterform

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Ebenengleichung, Parametergleichung, Schnittgerade

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16:11 Uhr, 03.02.2012

Hallo :-)

Ich prüfen, ob sich 2 Ebenen schneiden & gegebenenfalls die Gleichung der Schnittgeraden angeben.

E_{1} = \vec{x} = (\begin{matrix} 8 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} - 4 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix})

E_{2} = \vec{x} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) + u \cdot (\begin{matrix} - 3 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) + v \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ 1 \end{matrix})

\to

(I)

8 - 4 r + 5 s = 1 - 3 u + v

(II)

r = 4 v

(III)

2 + r - s = 1 + u + v

\to

unterbestimmt

r = t

\to v = \frac{1}{4} t

8 - 4 t + 5 s = 1 - 3 u + \frac{1}{4} t

2 + t - s = 1 + 1 u + \frac{1}{4} t

durch weiteres Einsetzen :

u = 6 - \frac{1}{2} t

s = - 5 + \frac{11}{20} t

Was mache ich jetzt damit ? Und gibt es eine Möglichkeit zu überprüfen, ob das, was ich da ausgerechnet habe überhaupt richtig ist ?

Danke schonmal ;-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebenen in Normalenform
Ebenen in Parameterform

Eva88 aktiv_icon

16:41 Uhr, 03.02.2012

Wo kommen denn die

t

her ?

Verwandle eine Ebene in die Koordinatenform.

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16:45 Uhr, 03.02.2012

Ich hab mir gedacht, weil es 4 Variablen aber nur 3 Gleichungen gibt, mus ich ein Parameter wählen, in dem Fall

r = t

?
Ist das falsch ? Wie soll ich das jetzt umwandeln ?

Eva88 aktiv_icon

16:48 Uhr, 03.02.2012

Nimm die Ebenengleichung

E 1

und verwandele sie in die Koordinatenform.

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16:58 Uhr, 03.02.2012

Hallo,

wenn du unbedingt willst, kannst du auch in Parameterform rechnen:

(\begin{matrix} 8 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} - 4 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) + u \cdot (\begin{matrix} - 3 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) + v \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ 1 \end{matrix})

Vereinfachen ergibt:

r \cdot (\begin{matrix} - 4 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix}) + u \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix}) + v \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ - 4 \\ - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 7 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix})

In Matrixform hat man also folgendes:

(\begin{matrix} - 4 & 5 & 3 & - 1 & | - 7 \\ 1 & 0 & 0 & - 4 & | 0 \\ 1 & - 1 & - 1 & - 1 & | - 1 \end{matrix})

Das kannst du mit dem Gauß-Algorithmus (durch Äquivalenzumformungen) vereinfachen zu (rechne nach):

(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & - 4 & | 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 4 & | - 5 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & | 6 \end{matrix})

Ausgeschrieben lautet die letzte Gleichung

u + v = 6

also gilt auch

u = 6 - v

. Das kannst du jetzt ersetzen, um deine Schnittgerade zu erhalten:

g : \vec{x} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) + (6 - v) \cdot (\begin{matrix} - 3 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) + v \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ 1 \end{matrix})

Das kannst du nun natürlich noch etwas vereinfachen.

Gruß Shipwater

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16:59 Uhr, 03.02.2012

E_{1} = \vec{x} = (\begin{matrix} 8 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} - 4 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix})

- \frac{18}{5} = - \frac{1}{5} x_{1} + \frac{9}{5} x_{2} - x_{3}

Und jetzt ?

Eva88 aktiv_icon

17:00 Uhr, 03.02.2012

ist falsch.

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17:04 Uhr, 03.02.2012

Entschuldige bitte, dass man sich verrechnen kann ;-)
es muss

- \frac{18}{5} = - \frac{1}{5} x_{1} + \frac{1}{5} x_{2} - x_{3}

sein ;-)

Eva88 aktiv_icon

17:08 Uhr, 03.02.2012

Kreuzprodukt von den Richtungsvektoren gibt

- 1 | 1 | - 5

dann mit OV als Skalarprodukt
ergibt bei mir

- x + y - 5 z = - 18

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17:20 Uhr, 03.02.2012

Wollte ja aber eben nicht erst in Koordiantenform umwandeln ;-)
Aber trotzdem danke.

Eva88 aktiv_icon

17:22 Uhr, 03.02.2012

Dann wie bei Shipwater, allerdings hat das den Nachteil, dass wenn nicht so viele Nullen bzw. keine Nullen da sind, das schwieriger wird.

Shipwater aktiv_icon

17:34 Uhr, 03.02.2012

"Schwierig" ist der falsche Begriff, besser "rechenlastig". Genauso gut kann man die Lösung durch Gleichsetzen der Parametergleichungen manchmal aber auch fast ohne jegliche Rechnung ermitteln, kommt halt immer auf den genauen Fall an. Hier muss jeder selbst entscheiden, welches Verfahren er am besten findet.

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