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schwierige extremaufgabe
Schüler Fachschulen, 11. Klassenstufe
Tags: Analysis
 
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also bei dieser aufgabe , weiß man nicht wirklich was gemeint ist! Für den bau einer kegelförmigen tüte mit möglichst großem fassungsvermögen wird aus einem quadratischen karton mit 1m seitenlänge ein kreisausschnitt geschnitten und zum kegel geformt. wie würden sie den karton ausschneiden? geben sie den mittelpunktswinkel an. man muss doch die seitenkante des kegels ausrechnen, oder? ich freue mich auf eure hilfe! gruß,mamboo |
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Hallo! Also, du kannst den Kegel auf verschiedene Arten zuschneiden, die Seitenkante des Kegels sollte aber immer maximal sein, also 1/2m. Die Frage ist, wieviel du aus dem Kreis herausschneidest, du schneidest ja, um den Kegel formen zu können, ein Kreissegment, z.B. ein Viertel des Kreises heraus und legst dann die beiden freien Kanten aufeinander und bildest dadurch erst den dreidimensionalen Körper. Im Endeffekt variierst du also durch das Wegschneiden eines mehr oder weniger großen Kreissegments den Umfang bzw. Radius der Grundfläche des Kegels, gleichzeitig auch die Höhe. Je kleiner das Segment, dass du wegschneidest, desto größer ist die Grundfläche, desto geringer ist aber auch die Höhe. Schneidest du mehr weg, verkleinerst du die Grundfläche, der Kegel wird aber höher. Gesucht ist also das Optimum, so dass das Volumen des Kegels maximal ist. V = 1/3*A*h = 1/3*pi*r²*h Die Kantenlänge des Kegels nennen wir mal d, dann gilt: d² = h² + r² (nach Pythagoras) d ist aber 1/2 m, also: h² + r² = 1/4 m² einsetzen in Hauptbedingung: V = 1/3*pi*(1/4 m² - h²)*h = 1/12*pi*m²*h - 1/3*pi*h³ V muss maximal werden, also V' = 0 und V''<0 V'(h) = 1/12*pi*m² - pi*h² V''(h) = -2*pi*h V'(h) = 0 h² = 1/12 m² h = +-wurzel(1/12) m Da Höhe per Definition größer 0 sein sollte: h = +wurzel(1/12) m Überprüfung mit V'' V''(wurzel(1/12)m) <0 -> Maximum r² = 1/4 m² - 1/12 m² = 1/6 m² r = wurzel(1/6) m da r >0 sein sollte entfällt negative Lösung Jetzt weisst du also schonmal, wie dein Zylinder aussieht wenn er fertig ist, die Grundfläche hat einen radius von wurzel(1/6) m und er ist wurzel(1/12) m hoch. Schaffst du es, den Mittelpunktswinkel des Kreises, wo du das Kreissegment ausgeschnitten hast, selber zu berechnen? Ist bis hierhin alles klar? Wenn es Fragen gibt, an welcher Stelle? Gruß Sams |
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Hallo, ohne die Aufgabe zu berechnen, gehe ich davon aus, daß der Ansatz, auf dem 1m Karton einen Kreis zu zeichnen und den Mantel aus diesem Kreis herauszuschneiden nicht der einzige ist. Man kann den Mantel auch so herausschneiden, daß die Spitze des Kegels einer der Eckpunkte des Quadrats ist und von diesem Eckpunkt aus gehen die beiden Kanten des Kreisbogens aus symmetrisch zur Diagonale durch diesen Punkt zu den "gegenüberliegenden" Seiten. Der Abstand dieser beiden Schnittpunkte von der zuerst gewählten Ecke ist die Länge der Mantellinie des Kegels und ist von 1m bis sqrt(2)*1m (Länge der Diagonale) möglich. Die Länge der Mantellinie bildet ebenfalls den Radius des Kreises, der diese beiden Punkte mit einem Kreisbogen verbindet. Ein solcher Kegel ist u.U. größer! |
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