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separabilität von lp
Universität / Fachhochschule
Folgen und Reihen
Grenzwerte
Tags: Dichtheit, Seperabilität
 
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Hi! Ich soll zeigen, dass alle räume seperabel sind. Das bedeutet, es ist zu beweisen, dass l^p eine dichte teilmenge besitzt. Das wurde in userer Übung gezeigt, aber ich blicke nicht ganz durch. Ich verstehe in diesem Beweis hier die Dichtheit, aber nicht die abzählbarkeit. (ich lasse mal bei normen die p-te wurzel weg, wie auch in dem originalbeweis, weils an konvergenz nix ändert) Seien , M := { ; | } { x | für (jede folge hat ein eigenes , keine "globale" zahl)} x wird nun so "gebaut", dass es y beliebig genau approximiert: nimm zu einem so, dass Da die reihe für endlich , gibt es ein solches k0. für approximiere man jede Zahl der folge y so, dass: Damit gilt = + Meine Frage wäre: Warum ist der Raum M abzählbar? ich vermute -> weil er eine abzählbare Vereinigung einer abzählbaren Menge ist. Aber wäre M' := { | } nicht auch Abzählbar? Mit dem M' liese sich allerdings auch eine folge aus (gliedweise wie für die oben) approximieren (mit dem M geht es nicht, weil z.B. konstante folgen im liegen, aber an der stelle, wo die Folge aus M abbricht nicht mehr approximiert werden). Aber ist nicht seperabel und darf somit auch keine abzählbare Teilmenge haben. Verliere ich durch die unendlich langen folgen im M' die abzählbarkeit? |
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Hallo, das mit der Abzählbarkeit hast du ganz richtig verstanden. ist abzählbar (Vereinigung abzählbarer Mengen). Bei liegt das Problem nicht in der Abzählbarkeit. Selbstverständlich gibt es abzählbare Teilmengen von , z.B. hat Null Elemente, ist somit endlich und insbesondere abzählbar. Wenn du endliche Mengen nicht als abzählbar durchgehen lassen möchtest, kannst du selbstverständlich auch die Menge betrachten. Dies ist wohldefiniert, da für alle gilt. Und hat trivialerweise dieselbe Mächtigkeit wie , welche abzählbar ist. Das Problem für liegt also in der Dichtheit deiner Teilmenge. Und in der Tat ist weder deine Teilmenge noch meine dicht in . Mit deiner Menge lassen sich nicht die konstanten Folgen aproximieren (ausgenommen von der Nullfolge). Dafür nehmen wir ein und wählen so, dass mit (Die Existenz einer solchen Folge ist trivial). Dann gilt . Die Folge lässt sich somit nicht aproximieren. Die konstanten Folgen kann ich jedoch mit meiner Menge gut aproximieren, da sich alle komplexen Zahlen durch aproximieren lassen. Allerdings bekomme ich Probleme z.B. mit der Folge mit . Das zu beweisen ist mir allerdings zu umständlich... Ich denke der allgemeine Beweis für die Nichtseparabilität ist etwas komplizierter und läuft per Widerspruch über eine Diagonalfolge. Aber da bin ich mir nicht so sicher. Zumindest kannst du deinen Beweis für die -Räume mit nicht für anwenden. Lieben Gruß Sina |
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Sorry, aber vielleicht kannst du das mit y irgendwie andeuten (beweien brauchst du ni)? Für mein ungeübtes auge lässt sich y sogar durch deine Mende A exakt approximieren, weil |
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Aber du musst aufpassen, da in meiner Menge nur konstante Folgen sind. Angenommen ich könnte die Folge mit aproximieren, dann gäbe es zu jedem ein , so dass ist. Wähle nun und sei eine der Folgen aus , die aproximieren, d.h. . Insbesondere ist also und . Damit gilt und es ist , was ein Widerspruch ist. Allerdings lässt sich übrigens diese Folge (genau wie jede andere Nullfolge auch) durch deine Menge aproximieren. |
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achso, A hat nur konstante folgen. Dann ist das klar. Aber kann meine M' nicht etwa konstante folgen approximieren? Also ich kann für M' in dem beweis oben dann auf verzichten (im unterschied zu M) und direkt verlangen. Da fällt mir irgendwie keine folge ein, die (im ) nicht so approximiert werden kann. Oder darf ich das nicht fordern, wenn eine folge sagen wir, gegen konvergiert, weil im limes dann mein ? |
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Entschuldige bitte, das war mein Fehler. Ich habe die Menge nicht richtig gelesen. ist überabzählbar. Zur Begründung dafür würde ich z.B. anbringen, dass alle Zahlen im Intervall als eine Folge natürlicher Zahlen (inklusive 0 und höchstens 9) angesehen werden können, so entspricht die Zahl 0 der Folge und die Zahl der Folge (die Idee beruht letztendlich auf der Dezimaldarstellung der Zahlen, somit sollte auch klar sein, dass jede Folge einer Zahl zwischen [0,1] entspricht und umgekehrt). Aber bekanntlich ist das Intervall überabzählbar. D.h. also, dass die Mengen aller Folgen von natürlichen Zahlen schon überabzählbar sind. Natürlich enthält alle diese Folgen und noch viel mehr. Deswegen kann nicht abzählbar sein. Und darüber hinaus ist nicht in enthalten, denn z.B. enthält die Folge mit , jedoch ist und somit . |
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Habe im M' nur zugelassen, aber du hast recht: M' muss überabzählbar sein. Die frage wäre: wie begründet man, dass M' bzw. deine "dezimalbruchreihe" eine nicht abzählbare vereinigung ist? Also ohne feststellung, dies führe zu Fehlern. Ich mene, die siehen ja auf den ersten Blicjk aus wie abzählbare vereinigungen! Und in beiden Fällen ist es das selbe Muster: es ist eine unendlich große vereinigung von abzählbar unendlich langen reihen (eine konkrete reihe xk oder dein tupel selbst ist abz. unendl.)! Folglich muss diese vereiniging der tupel oder reihen irgendwie nicht durchnummerierbar und somit überabzählbar sein... Ich seh mir den Beweis für Abz. Vereinigung Abz. Mengen an, da sollte es klarer werden und meld mich dann zurück, dann ist die sache endgültig geklärt. Ein großes Dankeschön für deine Hilfe! |
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Danke, dein Argument greift. Zumindestens wenn du eine unendlich lange reihe meinst, die gegen eine reelle zahl konvergiert. Ich konkretisiere es mal für meinen Fall und klau den Beweis nach alter Guttenbergart von dem 2en Cantorschen Diaogonalverfahren: http//www.mathepedia.de/Ueberabzaehlbar_unendlich.aspx nur dass ich statt dezimalbruchreihe einfach diese zahlen als Zahlenfolge reinsetze: Ich nenne diese Menge M'' sei nun folge mit = ( + 1) mod 10. Damit gilt wie die rationale zahl s im link ist meine folge s im M' und aber nicht im M'' Ich nenne M'' vereint mit allen erdenklichen folgen M''', M''' ist nun isomorph zum intervall [0,1]. Da aber in M'-folgengliedern außer 0...9 alle anderen Zahlen aus sind, gilt Da bereits mein M''' überabzählbar ist, ist es M' sowieso. Hab ich alles richtig gemacht und darf das thema schließen? |
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Genauso seh ich das auch ;-) Lieben Gruß Sina |
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Danke, dann hätten wirs ja. PS: Hab noch ein analogon gefunden! Wir haben eine Überabzählbare Teilmenge des und zwar alle Folgen, die nur 0 oder 1 als glieder haben. K := {} Diese sei isomorph zu binärzahlen aus dem intervall [0,1] Da stellte ich mir die Frage: warum sollen es ALLLE Zahlen in [0,1] sein und nicht vielleicht nur die binärbrüche dort, und diese Brüche wären doch Nun, unten sehen sie die Menge BB der BinärBRÜCHE und BZ aller BinärZAHLEN: BB := { a | a = {0,1} } BZ := { a | a = {0,1} } = { a | a = {0,1} } die Menge BZ enthält u.a. wegen der Dichtheit der Binärbrüche im [0,1]. Ergo trifft BZ wirklich alle Zahlen aus [0,1]. Ergo ist es eine Überabzählbare Menge. BB ist jedoch nur die Menge aller BinärBrüche (also nicht einmal aller Brüche!) und ist foglich abzählbar. |
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Was wir auch nicht bedacht haben (auch weiter oben mit der Dezimaldarstellung) ist, dass es mehr Dezimaldarstellungen als Zahlen gibt. So gilt z.B. und dasselbe gilt für die Binärzahlen, so ist . Aber das Problem kann man beheben, wenn man keine Dezimal-/Binärzahlen zulässt, die irgendwann nu noch mit 9en bzw 1en enden. Während die Menge der Binärzahlen isomorph zum Interval ist, ist die Menge der Binärbrüche isomorph zur Menge der Brüche mit Einträgen aus 0en und 1en, die irgendwann abbrechen. So ähnlich war auch die Menge in deinem ersten Beweis gewählt, und deswegen war sie abzählbar. |
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Verdammt, du hast recht! Ein Kumpel hat mich damals noch im ABI damit überrascht, dass 0,9999999... dasselbe ist wie einz. Die Lehrerin hat hat die damit genervt am abiturende, eher so als spaß. Das argument war: wenn 0,999999999 1, so nenne doch eine differenz 1-0,999999... von beiden! Mein gegenargument war: "na das ist halt eine 0,000000...0001 also ein periodische bruch mit vielen 0-llen und hinten einer einz. Was etwas anderes wäre, als mit hinten einer 0" Mein kumpel meinte daraufhin, da sehe man. wie löchrig unsere mathematik ist (also der wollte auch nicht echt glauben, die seien gleich). Jetzt weiß ich natürlich, dass 0,9999... in der tat =1, den "0,9999..." ist ja keine 0, mit 9en hinten, sondern ein limes davon! Und vor allem liegt 0,9999... auch nicht in [0,1) wie ich es quasi als junger abiturient dachte :-) Da hab ich doch einen vergessenen Dämon aus der vergangenheit verjagt, danke ;-) |
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