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sigma -Algebra endlich

Universität / Fachhochschule

Ringe

Maßtheorie

Tags: Maßtheorie, Ring

erstii

20:51 Uhr, 02.05.2018

Hallo zusammen,

ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter:

Sei

Ω

eine Menge und A eine

σ

-Algebra über

Ω

. Wir nehmen an, dass A abzählbar ist.

Zu zeigen ist, dass A eine endliche Menge ist.

Was ich bereits gezeigt habe, was für die Aufgabe nützlich sein kann, ist:

a)

Seien

A_{1}, ..., A_{n}

Teilmengen von

Ω

und sei

ε

die von

{A_{1}, ..., A_{n}}

erzeugte Mengenalgebra. Dann ist

2^{2^{n}}

eine obere Schranke für die Anzahl der Elemente von

ε

b)

Für jedes

x \in Ω

existiert eine minimale Menge

U_{x} \in A,

so dass

x \in U_{x}

c)

Die Menge

V := {U_{x} | x \in Ω}

ist eine Partition von

Ω (d . h

. für jedes

y \in Ω

existiert genau ein

B \in V

mit

y \in B)

.

Vermutlich muss ich einen Erzeuger von A finden, aber wie?

VG,
Nils

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

09:18 Uhr, 03.05.2018

Du kannst einfach indirekt argumentieren. Wenn

A

unendlich wäre, so hätte man da mindestens abzählbar viele Elemente

a_{1}, a_{2}, . . .

drin, und allein diese würden schon überabzählbar viele Mengen in der

σ

-Algebra erzeugen, nach dem Kantor-Argument.

DrBoogie aktiv_icon

09:20 Uhr, 03.05.2018

Mein Vorschlag ist leider etwas unsauber, aber kuck hier rein:
http://www.matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=96315&ref=http%3A%2F%2Fwww.google.de%2Furl%3Fsa%3Dt%26rct%3Dj%26q%3D%26esrc%3Ds%26source%3Dweb%26cd%3D1%26ved%3D0ahUKEwjXpq2vgOnaAhUHXRQKHcthD4gQFggnMAA

erstii

22:26 Uhr, 04.05.2018

Danke

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