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stationäre Stellen
Universität / Fachhochschule
Tags: Analysis
 
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Hallo Ihrs, ich sitze gerade vor einer alten Matheklausur (Wirtschaftsmathematik) und komm mit dieser Aufgabe überhaupt nicht klar. Vielleicht könnt ihr mich inspirieren. Gegeben ist die Funktion f(x1,x2)=x13+x23-12x1-3x2. a) Berechnen Sie alle stationären Stellen dieser Funktion. (Die entsprechenden Funktionswerte müssen nicht berechnet werden.) b) Überprüfen Sie, ob an den stationären Stellen relative Maxima, relative Minima oder Sattelpunkte vorliegen. c) Sie sollen nun die Extremwerte der Funktion f(x1,x2) unter der Nebenbedingung x1+x2=2 berechnen. Stellen Sie dazu die Lagrangefunktion und die Glechung für die notwendige Bedingung auf. d) Überprüfen Sie, ob für x1=7/4, x2=1/4, lambda=45/16 bzw. lambda=(-45/16) ein relatives Maximum vorliegt. Für Eure Hilfe vielen Dank ... :) Sandra |
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Hallo Sandra, Eine Stationäre Stelle bedeutet grad f| = 0 partielle Ableitung nach x1: 3x1² - 12 = 0 Nullstellen x1 = +- 2 partielel Ableitung nach x2: 3x2² - 3 = 0 Nullstellen: x2 = +- 1 Also (2, 1), (2, -1), (-2, 1), (-2, -1) sind stationäre Punkte. Das Überprüfen ob das Extrema oder Sattelpunkte sind ganz du mit den Eigenwerten der Hesse-Matrix machen. Deine Lagrangefunktion ist L=f(x1, x2) + lambda (x1 + x2 - 0) dann leitest du L nach x1 und x2 ab, setzt das Ergebnis jeweils =0, und mit der Nebenbedingung x1 + x2 - 2 = 0 hast du drei Gleichungen mit drei Unbekannten => fertig. HTH, Moritz |
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Hallo Moritz, vielen Dank für deine Antwort. Soweit ist jetzt alles klar. Ich habe aber nochmal ne Frage zu den Extremwerten. Nachdem ich die stationären Stellen herausgefunden habe, muss ich doch jeweils die 2. Ableitung bilden. Ich habe folgende Ableitungen erhalten: fx1x1=6x1 fx2x2=6x2 fx1x2=0 fx1x2=0 Ist das korrekt? Desweiteren habe ich folgende Frage, was bedeutet diese Formel. Interpretiere ich sie richtig? Formel: fxxfyy-(fxy)2>0 Interpretation am Beispiel 6x1*6x1-(0)>)2>0 Falls das richtig sein sollte, habe ich es endgültig verstanden ... vielen Dank für die Hilfe :) Sandra |
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Hallo Sandra, deine Ableitungen sind richtig. > Desweiteren habe ich folgende Frage, was bedeutet diese Formel. > Interpretiere ich sie richtig? > Formel: fxxfyy-(fxy)2>0 Das ist die Determinante der Hesse-Matrix. Aber was die aussagt weiss ich leider auch nicht. Du hast es auf jeden Fall richtig eingesetzt. Ich kenne das so: um festzustellen ob da ein Maximum oder Minimum vorliegt einfach die Eigenwerte der Hesse-Matrix bilden: (6x1 - lambda)*(6x2 - lambda) - 0 = 0 Wenn x1 und x2 positiv sind sind die Eigenwerte negativ d.h. es ist ein Maximum. sind beide negativ => eigenwerte positiv => Minimum sonst Sattelpunkt Grüße, Moritz |
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nochmals Vielen Dank für Eure Hilfe. Ich denke, dass nun alles klar ist. Ich habe diese Formel in einem Buch für Wirtschaftsmathematik gefunden. Dass sie was mit der Hessematrix zu tun hat, wußte ich nicht, bin aber jetzt dafür schlauer :) Mit dieser Formel überprüfe ich, ob es sich um ein Extremum oder um ein Sattelpunkt handelt. Da ja Sattelpunkt für die Bestimmung des Extremums unbedeutend sind, brauche ich diese nicht mehr zu berücksichtigen. Und das bestimmen des Maximum und des Minimums ist ja Danke eurer Hilfe nun sehr einfach :) also vielen Dank :) Sandra |
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