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stetig diffbar, lokal Lipschitz-stetig

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

JaBaa aktiv_icon

20:51 Uhr, 10.12.2020

Hallo zusammen,

ich habe folgende Frage gestellt bekommen.

Sei

D \subset ℝ \times ℝ^{n}

offen und

f \in C_{1} (D, R^{n})

(Also

f

ist einmal stetig differenzierbar). Zeigen Sie, dass

f \in D

einer lokalen Lipschitzbedingung genügt.

Laut meinem Skript soll ich den Mittelwertsatz anwenden, der besagt, dass auf einem offenem Intervall I die Funktion

f : I \to ℝ

eine Zwischenstelle

ε

hat für die gilt:

{f (ε)}^{'} = \frac{f (x) - f (y)}{x - y}

.

Jetzt weiß ich nicht wie ich es auf den mehrdimensionalen Fall anwenden soll. Ich meine es auf dem 1-dimensionalen Fall verstanden zu haben.

Muss ich mir einen Punkt

(t_{0}, y_{0}) \in D

herausnehmen und eine Umgebung

U (t_{0}, y_{0}) \in D

herausnehmen und diese dann ableiten ? Ist dann die Ableitung um eine Umgebung des Punktes

(t_{0}, y_{0})

beschränkt sodass eine Lipschitzbedingung um dieser Umgebung vorhanden ist ?

Jetzt weiß ich das für alle

(t_{0}, y_{0})

aufgrund des Mittelwertsatzes gilt,

| {f ({(t, y)}_{ε})}^{'} | = | \frac{f (t, y_{1}) - f (t, y_{2})}{y_{1} - y_{2}} |

kann man den Mittelwertsatz derat übertragen ? Dann könte ich mir als Konstante

L

ja das

max (f (t_{2}, y_{2})),

für die gilt

(t_{2}, y_{2}) \in U (t_{0}, y_{0}),

wählen.

Ich hoffemir kann jemand meine Fragen beantworten.

Viele Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

21:00 Uhr, 10.12.2020

Es gibt auch mehrdimensionale Mittelwertsätze:
mathepedia.de/Mittelwertsaetze.html

JaBaa aktiv_icon

22:52 Uhr, 11.12.2020

Hi,

dann müsste doch für meine Funktion gelten,

dass nach dem Mittelwertsatz

f (x + ε) - f (x) = (\int_{0}^{1} f^{'} (x + t \cdot ε) d t) \cdot ε

gilt, für

x \in D

und

ε \in ℝ^{n}

und dass

x + t \cdot ε

ganz in

U

liegt für

x + t \cdot ε

.

Wenn ich dies jetzt auf mein Problem übertrage gilt:

| f (t, y_{1}) - f (t, y_{2}) | = | (\int_{0}^{1} f^{'} ((t, y_{1}) + h \cdot ε) \cdot ε |,

wobei

ε = y_{1} - y_{2}

und

h \in [0,1]

. Jetzt kann ich

L = max_{f^{'} (U)} \int_{0}^{1} f^{'} ((t, y_{0}) + h \cdot ε) d t

wählen. Dies geht weil

f

stetig differenzierbar ist, da damit die Umgebung beschränkt ist. Damit gilt dann

| f (t, y_{1}) - f (t, y_{2}) | = | (\int_{0}^{1} f^{'} ((t, y_{1}) + h \cdot ε) \cdot ε | \leq | L \cdot ε | = L \cdot | y_{1} - y_{2} |

Also eventuell habe ich hier auch ziemlich viel Humbug gemacht, ich bin für alle Kritik offen ;-) .

Viele Grüße

DrBoogie aktiv_icon

23:00 Uhr, 11.12.2020

Einfacher ist mit der anderen Formel aus demselben Satz:

∥ f (x + h) - f (x) ∥ \leq sup_{0 < t < 1} ∥ f^{ʹ} (x + t h) ∥ \cdot ∥ h ∥

.
Wenn man

L = sup_{0 < t < 1} ∥ f^{ʹ} (x + t h) ∥

setzt, hat man praktisch sofort die lokale Lipshitz-Stetigkeit.

JaBaa aktiv_icon

23:08 Uhr, 11.12.2020

Ja die hatte ich auch gesehen nur stand die bei meinem Mittelwertsatz nicht dabei aus Analysis

2 (

obwohl die Ungleichung natürlich nachvollziehbar für mich ist). Ich muss mich sowieso nochmal tiefer reindenken. Vielen Dank für deine Hilfe, deine Tipps haben mir sehr geholfen.

Viele Grüße

1522809

1522612

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