stetig lineare abbildung eines Skalarprodukts

Hey! Vielleicht kann mir jemand bei der Aufgabe helfen.

Es sei V ein IK-Vektorraum mit Skalarprodukt ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$. Zeige:

a) Für jedes ${\displaystyle \mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in \mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ ist

$$\begin{gathered} {\displaystyle {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}:\mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to \mathrm{I<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{K<mspace\; width="0.12em"></mspace>}, \\ \mathrm{w<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mapsto \langle \mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{w<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\rangle } \end{gathered}$$

eine stetige lineare Abbildung.

b) ${\displaystyle \Vert \left|{\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right|\Vert =\Vert \mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\Vert }$ ist die Operatornorm von ${\displaystyle {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$.

Danke im Voraus

Gruß

Du meinst wohl die Normtopologie. In unserem Skript hab ich keine Definition gefunden in der die Abbildung ${\displaystyle \mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to \mathrm{I<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{K<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ als stetig definiert wird.

Ich hab noch ein bisschen nachgeforscht und bin auf diesen Satz gestoßen:

Das Skalarprodukt ist stetig: Wenn ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\to \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$, ${\displaystyle {\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\to \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$, so konvergiert auch
${\displaystyle \langle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}},{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\rangle \to \langle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\rangle }$.

Das soll man mit der Cauchy-Schwarz-Ungleichung beweisen. Also hab ich mir das hier gedacht:Man nimmt zwei Folgen ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\to \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>},{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\to \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Ich denke man muss zeigen ${\displaystyle \underset{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to \mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{lim<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\langle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}},{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\rangle =\langle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\rangle }$

Also: ${\displaystyle |\langle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}},{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\rangle -\langle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\rangle |=\left|\langle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\rangle +\langle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}},{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}-\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\rangle \right|}$

Nun denk ich mir müsste man hier die CS-Ungleichung anwenden:

${\displaystyle \left|\langle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>},{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\rangle \right|+\left|\langle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>},{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}-\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\rangle \right|\le \Vert {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\Vert \cdot \Vert {\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\Vert +\Vert \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\Vert \cdot \Vert {\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}-\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\Vert }$

Da die rechte Seite gegen 0 geht, geht auch die linke Seite gegen 0, somit wär doch die Stetigkeit gezeigt, oder?