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stetige Funktionen

Schüler Fachschulen, 12. Klassenstufe

Tags: Analysis

anonymous

15:10 Uhr, 26.01.2007

Grüß Gott an Alle!!!!
Bin neu hier und versuche nun meine Mathe Aufgabe auf diesem Weg zu lösen, denn ich war gerade bei "Schülerhilfe" und die verlangen tatsächlich 180 Euro im Monat für Nachhilfeunterricht.
Also ich habe da zwei Aufgaben, bei dene ich einfach nicht weiter komme. Müsst mir ja nicht die komplette Lösung posten, aber so´n kleiner Denkanstoß wäre nicht schlecht.....

1) Setzen Sie die Funktion in die bestehende Definitionslücke stetig fort.

\times \to 3 \sin (\times) \div 4 \times

2) Beweisen Sie folgenden Sonderfall der Grenzwertsätze

\lim_{n \to \infty} (k + a n) = k + \lim_{n \to \infty} a n

Sams83 aktiv_icon

15:34 Uhr, 26.01.2007

Hallo!
Zu a)
zuerst einmal stellt man fest, dass bei x = 0 eine Definitionslücke vorliegt, da der Nenner ja nicht 0 werden darf:
4x = 0
-> x = 0 Definitionslücke

dann ist der Grenzwert der Funktion an diesem Punkt gesucht, also:

\lim_{x \to 0} \frac{3 \sin (x)}{4 x}

Wie man feststellt, geht sowohl der Zähler für x=0 gegen 0, da sin(0) = 0 als auch der Nenner. Der Grenzwert ist so also unbestimmt. Für solche Fälle gibt es die Regel von l'Hospital, die besagt, dass in diesem Fall der Grenzwert de Verhältnisses der Funktionen gleich dem Grenzwert des Verhältnisses ihrer Ableitungen, also:

\lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{g (x)} = \lim_{x \to 0} \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)}

In deinem Fall heißt das:

\lim_{x \to 0} \frac{3 \sin (x)}{4 x} = \lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (x)}{4} = \frac{3}{4} = 0, 75

Der Grenzwert an der Stelle 0 ist also 0,75.

Gibt's Fragen dazu?

steele

15:58 Uhr, 26.01.2007

@Sams

Zitat: Gibt's Fragen dazu?

Nur eine Frage nach dem Huhn und dem Ei... - Du benutzt l´Hospital, der benutzt die Ableitung des sin(x). Darin taucht bei der Betrachtung für x₀=0 der DifferenzenQuot. sin(h)/h (für h-->0) auf.

Wäre es da nicht sinnvoll, den Grenzwert sin(h)/h (für h-->0) ableitungsfrei herzuleiten?! (Etwa durch eine Betrachtung am Einheitskreis)

steele

23:40 Uhr, 27.01.2007

@Sams

Ich dachte, man könnte DAS problemlos nachreichen. - Denken heisst nicht wissen. Ich habe mich geirrt!

Sams83 aktiv_icon

23:53 Uhr, 28.01.2007

Sorry, war über's Wochenende off...aber das Interesse daran scheint ja zum Glück auch nicht zu groß zu sein(außer von dir, steele, und du kannst es ja :-))

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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