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stochastische Diff-gleichung

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Wahrscheinlichkeitsmaß

Zufallsvariablen

Tags: Wahrscheinlichkeitsmaß, Zufallsvariablen

Jennifer87 aktiv_icon

06:53 Uhr, 03.06.2014

Hi,

Ich soll folgende 2-dim Diffgleichung lösen:

(\begin{array}{c} d X_{t}^{1} \\ d X_{t}^{2} \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ X_{t}^{2} \end{array}) d t + (\begin{array}{c} 0 \\ e^{X_{t}^{1}} \end{array}) d B_{t}

mit Startbedingung :

(X_{t}^{1}, X_{t}^{2}) = (0, 0)

Kann mir da bitte jemand einen Tipp geben wie man das lösen kann??

lg Jenny

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

08:01 Uhr, 03.06.2014

Für

X_{t}^{1}

hast Du eine einfache nichtstochastische Gleichung

d X_{t}^{1} = d t

, die Lösung davon (zu der Anfangsbedingung) ist

X_{t}^{1} = t

.
Die Gleichung für

X_{t}^{2}

wird dann

d X_{t}^{2} = X_{t}^{2} d t + e^{t} d B_{t}

.
Diese Gleichung löst man mit dem Ansatz

X_{t}^{2} = f (t, X_{t}^{2})

unter der Nutzung der Ito-Formel.

Jennifer87 aktiv_icon

08:50 Uhr, 03.06.2014

Danke :-)

Jennifer87 aktiv_icon

12:55 Uhr, 04.06.2014

ok ist leider doch noch nicht ghanz klar....

also nun habe ich

X_{t}^{1} = t

und will

d X_{t}^{2} = X_{t}^{2} d t + e^{t} d B_{t}

lösen... :

ich setze:

f (t, B_{t})

Die Ito- Formel besagt ja:

d X_{t}^{2} = (f^{(1)} (t, B_{t}) + \frac{1}{2} f^{(2, 2)} (t, B_{t})) d t + f^{(2)} (t, B_{t}) d B_{t}

also erhalte ich zwei Gleichungen:

1.

f^{(2)} (t, B_{t}) = e^{t}

f (t, B_{t}) = (f^{(1)} (t, B_{t}) + \frac{1}{2} f^{(2, 2)} (t, B_{t}))

aus der 1. Gleichung folgt sofort:

f (t, B_{t}) = B_{t} e^{t} + c (t)

kann das bis hierhin überhaupt stimmen? weil wenn ich das in die andere Gleichung einsetze kommt nicht wirklich was raus ...

DrBoogie aktiv_icon

13:07 Uhr, 04.06.2014

Hier im Abschnitt 3.2 wird eine allgemeine Gleichung gelöst:
http://www.statistik.tu-dortmund.de/fileadmin/user_upload/Lehrstuehle/Ingenieur/Mueller/Lehre/Seminar/SS2012/Bieber_Ausarbeitung.pdf

Hoffentlich hilft das.

Jennifer87 aktiv_icon

13:54 Uhr, 04.06.2014

ich versuchs mal und bitte dann um Feedback ;-)
-------------------------------------

ich setze:

f (t, B_{t})

Die Ito- Formel besagt ja:

d X_{t}^{2} = (f^{(1)} (t, B_{t}) + \frac{1}{2} f^{(2, 2)} (t, B_{t})) d t + f^{(2)} (t, B_{t}) d B_{t}

also erhalte ich zwei Gleichungen:

1.

f^{(2)} (t, B_{t}) = e^{t}

f (t, B_{t}) = (f^{(1)} (t, B_{t}) + \frac{1}{2} f^{(2, 2)} (t, B_{t}))

aus der 1. Gleichung folgt sofort:

f (t, B_{t}) = B_{t} e^{t} + c (t)

so einegesetzt in die zweite Gleichung ergibt sich:

B_{t} e^{t} + c (t) = B_{t} e^{t} + c' (t) + 0 = > c (t) = c' (t)

also

c (t) = α e^{t}

X_{t} = B_{t} e^{t} + α e^{t}

und dann wegen der Startwert-Bedingung:

X_{0}^{2} = 0

folgt:

X_{t}^{2} = B_{t} e^{t}

stimmt das nun??????

Jennifer87 aktiv_icon

19:54 Uhr, 04.06.2014

passt das bzw wo ist der fehler?

DrBoogie aktiv_icon

07:35 Uhr, 05.06.2014

Ich glaube, dass es so richtig ist. Aber ich bin kein Fachmann, also kann nicht 100% Garantie geben.

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