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symmetrische Bilinearform
Universität / Fachhochschule
angewandte lineare Algebra
Tags: Angewandte Lineare Algebra
 
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Heyy zusammen Ich komme beim Thema Bilinearformen irgendwie überhaupt nicht draus. Vielleicht kann mir jemand von euch weiterhelfen... Eine Beispielaufgabe, die ich nicht verstehe: Sei Pol3(lR) der reelle Vektorraum aller rellwertigen Polynome vom Grad kleiner gleich 3. Auf sei die symmetrische Bilinearform ∫-1,1 für alle gegeben. Dabei bedeutet die Ableitung des Polynomes . Entscheiden sie, ob die Bilinearform entartet oder nichtentartet ist. Bestimmen sie die Signatur dieser Bilinearform. Vielen Dank für eure Antworten. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
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Hallo, ich würde als Erstes die Gram-Matrix der Bilinearform bestimmen bzgl. der Basis . Gruß ermanus |
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| Okey und wie macht man dies genau? |
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Die Gram-Matrix oder Darstellungsmatrix deiner Bilinearform bzgl. der Basis ist die Matrix, die den Wert an der Stelle stehen hat, also den Wert . Du rechnest also alle diese Integrale aus und bildest aus den Integralwerten deine Matrix. |
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Ahaa, okey vielen Dank, jetzt verstehe ich es glaube ich! |
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Prima! Ich bin jetzt für 2 Stunden unterwegs. Danach können wir ja unsere Rechenergebnisse vergleichen ... Gruß ermanus |
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Sehr gerne ja :-) |
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Also, die ersten beiden Zeilen der Matrix lauten bei mir: . Nun du mit den letzten beiden Zeilen ;-) |
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Ist die erste Zeile überall 0 weil die ableitung von ist und man dadurch nichts im integral hat? Bei der 3. Zeile habe ich: und bei der |
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> "Ist die erste Zeile überall 0 weil die ableitung von 1=0 ist und man dadurch nichts im integral hat?" Ja, genauso ist es! Unsere Matrizen stimmen überein :-) Wenn du die erste Zeile und erste Spalte löschst, bekommst du eine -Matrix, die positiv definit ist, was du begründen solltest. Nun musst du mir mitteilen, wie ihr die Signatur genau definiert habt, da dies nicht einheitlich geregelt ist ... |
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Entschuldige, dass ich erst so spät zurückschreibe. Gut, da bin ich froh, wenn wir das Gleiche bekommen haben :-) Ehm wir haben die Signatur so bestummen, dass die erste die Anzahl positive, die 2. die Anzahl negative und die 3. die Anzahl ist. |
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OK ;-) Dann hast du |
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Okey super, vielen vielen Dank für die Hilfe, du hast mir wirklich sehr geholfen!! |
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Noch kurz eine andere Frage, wie kann man denn dann bestimmen, ob diese entartet ist oder nicht? |
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Genau dann, wenn die Determinante der Matrix ist, ist die Bilinearform entartet. Das zeigt sich auch in der Signatur darin, dass die 3-te Zahl ist. |
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Okey, vielen Dank! |
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