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unendlich dimensionaler Vektorraum - Beweis

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Skalarprodukte

Vektorräume

Tags: Skalarprodukt, unendlich, Vektorraum

Lennart001 aktiv_icon

09:38 Uhr, 07.06.2017

Hallo!
Ich habe bereits Folgendes gezeigt:
1) Die stetigen Funktionen

f : [0, 1] \to ℂ

bilden einen

ℂ

-Vektorraum V. Dann definiert

< f, g > := \int_{0}^{1} f (t) \bar{g (t)} d t

ein Skalarprodukt auf V.
2) Die Funktionen

e_{ν} (t) = e x p (2 π i ν t)

für

ν \in ℤ

bilden ein Orthonormalsystem, d.h.

< e_{ν}, e_{μ} > = δ_{ν, μ}

.

Und jetzt muss ich zeigen, dass V unendlich dimensional ist. Leider habe ich dazu überhaupt keinen Ansatz. Ich verstehe noch nicht einmal, wie sich das auf die obigen Beweise beziehen könnte. Kann mir da jemand vielleicht helfen?
Danke :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

pwmeyer aktiv_icon

10:05 Uhr, 07.06.2017

Hallo,

man kann leicht zeigen, dass ein Orthogonalsystem linear unabhängig ist. Wenn Du also

2)

gezeigt hast, hast Du ein nicth-endliches linear unabhängiges System.

Gruß pwm

Lennart001 aktiv_icon

12:59 Uhr, 07.06.2017

Ok das ergibt Sinn. Aber wie zeige ich, dass Orthonormalsysteme unendlich dimensional sind bzw. aus unendlich vielen linear unabhängigen Vektoren bestehen?

pwmeyer aktiv_icon

13:12 Uhr, 07.06.2017

Hallo,

Du musst zeigen: Je endlich viele Elemente der Orthonormalbasis sind linear unabhängig. Was bedeutet linear abhängig?

Gruß pwm

Lennart001 aktiv_icon

19:35 Uhr, 07.06.2017

Meinst du dass für bestimmte

λ \in ℂ

und

λ \neq 0

eine Linearkombination aus den Elementen 0 ergibt?

pwmeyer aktiv_icon

08:36 Uhr, 08.06.2017

In der Richtung, vielleicht geht es etwas genauer und formal korrekt.

Lennart001 aktiv_icon

11:24 Uhr, 08.06.2017

Also die Vektoren

v_{1}, . . ., v_{n} \in V

sind linear abhängig, wenn aus

\sum_{i = 1}^{n} λ_{i} v_{i} = 0

für alle

λ \in K

folgt:

λ_{1}, . . ., λ_{n} \neq 0

.
Man könnte also auch sagen, dass sich mind. einer dieser Vektoren als Linearkombination von mind. einem anderen dieser Vektoren darstellen lässt.

pwmeyer aktiv_icon

11:32 Uhr, 08.06.2017

Hallo,

richtig muss es heißen:

(⋆) \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} v_{i} = 0

und mindestens ein

λ_{k} \neq 0

Zurück zu unserem Problem: Wenn die

v_{i}

orthonormal sind, dann berechne mal das Skalarprodukt

< v_{1}, \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} v_{i} >

und dann

< v_{2}, \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} v_{i} >

. .

.

gruß pwm

Lennart001 aktiv_icon

15:54 Uhr, 08.06.2017

Stimmt das soweit?:

< v_{1}, \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} v_{i} > = \int_{0}^{1} v_{1} (t) * \bar{\sum_{i = 1}^{n} λ_{i} v_{i} (t)} d t = \int_{0}^{1} v_{1} (t) * \sum_{i = 1}^{n} \bar{λ_{i} v_{i} (t)} d t = \int_{0}^{1} v_{1} (t) * (\bar{λ_{1} v_{1} (t)} + . . . + \bar{λ_{n} v_{n} (t)}) d t = \int_{0}^{1} \bar{λ_{1}} ∣ v_{1} (t) ∣^{2} + . . . + \bar{λ_{n} v_{n} (t)} v_{1} (t) d t

Und wie geht's weiter?

pwmeyer aktiv_icon

19:17 Uhr, 08.06.2017

Hallo,

leider wird Dein Text bei mir abgeschnitten. Tatsächlich kannst Du allgemein mit den Eigenschaften eines Skalarprodukts arbeiten. Auf jeden Fall: Wie wirkt sich jetzt die Orthonormalität der

v_{i}

aus?

Gruß pwm

Lennart001 aktiv_icon

13:14 Uhr, 09.06.2017

Das Problem mit dem abgeschnittenen Text habe ich wegen der Werbung bei dir auch :-( Aber wenn du bei "Antworten" auf "Frage einblenden/ausblenden" gehst, kannst du alles ganz sehen.
Wie sich das auswirkt weiß ich nicht so ganz. Bin leider nicht weiter als

\int_{0}^{1} \bar{λ_{1}} ∣ v_{1} (t) ∣^{2} + . . . + \bar{λ_{n} v_{n} (t)} v_{1} (t) d t

pwmeyer aktiv_icon

16:34 Uhr, 09.06.2017

Hallo,

nochmals: Du musst jetzt die Orthonormalität der

v_{i}

ausnutzen, also

< v_{i}, v_{k} > = δ_{i, k}

Gruß pwm

Lennart001 aktiv_icon

17:48 Uhr, 09.06.2017

Das Skalarprodukt ist doch dann immer 1 oder?
Weil z.B.:

< v_{1}, \sum_{i = 1}^{n} > = \int_{0}^{1} v_{1} (t) * (\bar{λ_{1} v_{1} (t)} + . . . + \bar{l a m b d a_{n} v_{n} (t)}) = < v_{1}, λ_{1} v_{1} > + . . . + < v_{1}, λ_{n} v_{n} > = 1 + 0 + . . . . + 0 = 1

wegen der Linearität des Integrals. Analog funktioniert das doch dann auch für alle anderen

v_{i}

's.
Und was habe ich dann davon?

pwmeyer aktiv_icon

10:39 Uhr, 10.06.2017

Jetzt hast Du die

λ

vergessen.

Sie

{v_{1}, ..., v_{n}}

orthonormal. Wenn dann für

λ_{i} \in ℝ

(oder

ℂ)

gilt:

0 = λ_{1} \cdot v_{1} + . .

+ λ_{n} \cdot v_{n} = \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} \cdot v_{i}

dann folgt für jedes

k \in {1, ..., n} :

0 = < 0, v_{k} > = < \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} \cdot v_{i}, v_{k} > = \sum_{i = 1}^{n} < λ_{i} \cdot v_{i}, v_{k} > = \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} \cdot δ_{i k} = λ_{k}

.

Also ist

{v_{1}, . .

, v_{n}}

linear unabhängig.

Gruß pwm

Lennart001 aktiv_icon

14:39 Uhr, 10.06.2017

Ok super danke. Jetzt hab ichs verstanden

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