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iri18 aktiv_icon

17:40 Uhr, 27.04.2012

Hallo.
ich habe nur eine kurze frage..

wie ist

\infty^{0}

definiert? :-)

Atlantik aktiv_icon

17:44 Uhr, 27.04.2012

Müsste eigentlich 1 sein.

mfG

Atlantik

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Atlantik aktiv_icon

17:44 Uhr, 27.04.2012

doppelt!

iri18 aktiv_icon

17:47 Uhr, 27.04.2012

was meinst du mit doppelt?

also ist

\infty^{0} = 1

Atlantik aktiv_icon

17:50 Uhr, 27.04.2012

Es heißt, dass ich doppelt gepostet habe.

mfG

Atlantik

iri18 aktiv_icon

17:51 Uhr, 27.04.2012

okay kein problem..
aber

\infty^{0}

ist als 1 definiert oder?

Atlantik aktiv_icon

17:52 Uhr, 27.04.2012

So sehe ich es auch.

mfG

Atlantik

Michii aktiv_icon

17:54 Uhr, 27.04.2012

Jede Zahl

^0

ergibt 1. ganz sicher!

iri18 aktiv_icon

17:58 Uhr, 27.04.2012

DANKE :-)

iri18 aktiv_icon

17:59 Uhr, 27.04.2012

DANKE :-)

DK2ZA aktiv_icon

18:03 Uhr, 27.04.2012

Jede beliebige Zahl hoch Null ergibt 1 mit Ausnahme von 0.

0^{0}

ist nicht definiert.

Unendlich ist aber keine Zahl. Unendlich^0 ist nicht definiert.

GRUSS, DK2ZA

iri18 aktiv_icon

18:36 Uhr, 27.04.2012

danke :-)

iri18 aktiv_icon

18:38 Uhr, 27.04.2012

also ist

\infty^{0}

jetzt doch nicht 1?????????????

CKims aktiv_icon

18:42 Uhr, 27.04.2012

genau genommen muss man bei

\infty^{0}

sagen auf welchen zahlen man arbeitet... weil

\infty

selber keine reelle zahl ist... sonst kann man auf die frage nicht genau antworten.

allerdings wird

\infty^{0}

meist als kurzschreibweise fuer

lim_{n \to \infty} n^{0}

verwendet... dann ist genau geklaert, was gemeint ist... dann gilt

\infty^{0} = lim_{n \to \infty} n^{0} = lim_{n \to \infty} 1 = 1

iri18 aktiv_icon

19:17 Uhr, 27.04.2012

naja ich hab folgendes beispiel:

lim_{n \to \infty} {| 1 + a^{n} |}^{\frac{1}{n}}

was ist der grenzwert davon?!?

CKims aktiv_icon

19:22 Uhr, 27.04.2012

gibts noch einschränkungen fuer a ??

iri18 aktiv_icon

19:25 Uhr, 27.04.2012

a > 0!

CKims aktiv_icon

19:26 Uhr, 27.04.2012

betrachte das fuer

a \leq 1

und fuer

a > 1

und verwende den ansatz

lim_{n \to \infty} e^{ln ({| 1 + a^{n} |}^{\frac{1}{n}})}

und

l

hopital...

iri18 aktiv_icon

19:30 Uhr, 27.04.2012

okay danke.. kannst du mir schnell veraten ob der grenzwert 1 ist?

hagman aktiv_icon

23:27 Uhr, 27.04.2012

Also Folgendes:

0^{0} = 1

und von mir aus auch

\infty^{0} = 1^{\infty} = 1,

aber im Zusammenhang mit Grenzwerten zählen die Ausdrücke

0^{0}

und

\infty^{0}

zu den sohgenannten unbetsimmten Ausdrücken. Will heißen:
Normalerweise ist

lim_{n \to \infty} {(a_{n})}^{b_{n}} = {(lim_{n_{>} \infty} a_{n})}^{lim_{n \to \infty} b_{n}}

. Dies gilt jedoch nicht, wenn hierbei rechts

0^{0}

oder

\infty^{0}

oder

1^{\infty}

zu stehen käme. In diesen Fällen kann der eigentlich gesuchte Grenzwert jeden beliebigen Wert annehmen (oder Divergenz vorliegen). Das liegt daran, dass die Potenzfunktion

(x, y) \mapsto x^{y}

an diesen Stellen nicht stetig ist (und einige Autoren sie dort gleich ganz undefiniert lassen).

pleindespoir aktiv_icon

23:57 Uhr, 27.04.2012

"okay danke.. kannst du mir schnell veraten ob der grenzwert 1 ist?"

Nein, ist er nicht.

Es ist a. (für

a \geq 1

)

iri18 aktiv_icon

15:37 Uhr, 29.04.2012

Aso okay DANKE!

Ich bin das Bsp. jetzt anders angegangen..
ich soll ja das konvergenzverhalten folgender Reihe untersuchen:

\sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{a^{n}}{1 + a^{n}})

(wobei

a > 0)

und nun hab ich an das majorantenkritierium gedacht..

und zwar hab ich als majorante

b_{n} := a^{n}

gesetzt was ja für

0 < a < 1

konvergent ist .. und da gilt dass

| (\frac{a^{n}}{1 + a^{n}}) | < | b_{n} |

für

\forall n \in ℕ

und

| b_{n} |

konvergent ist würdes das ja auch heißen dass meine Reihe konvergiert.

Kann man das so machen?:-)

hagman aktiv_icon

23:13 Uhr, 29.04.2012

Aha.
Diese Frage hat aber nun rein überhaupt nichts mit

\infty^{0}

zu tun.
Für

0 < a < 1

ist

\frac{a^{n}}{1 + a^{n}} \leq a^{n},

wie du richtig zwecks Anwendung des Majorantenkriteriums beobachtet hast. Und

\sum_{n = 0}^{\infty} a^{n} = \frac{1}{1 - a}

für

0 < a < 1

. Soweit, sogut.

a \geq 1

ist natürlich eine andere Sache.

iri18 aktiv_icon

13:11 Uhr, 30.04.2012

okay danke :-)

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