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unterjährige Verzinsung

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: exponentielle Verzinsung

sunny2901 aktiv_icon

21:18 Uhr, 20.09.2010

Hallo zusammen,

hab grad ein Problem beim Lösen einer Aufgabe und würde mich sehr freuen, wenn ihr mir vllt etwas auf die Sprünge helfen könntet.

Folgendes:
Ein Kapital

K 0

werde zum

1.1.05

8 % p . a

. angelegt. An welchem Tat triit eine Kapitalverdopplung ein, wenn

(i)

gemischte Verzinsung (unterjährig) unterstellt wird und der (jährliche) Zinszuschlag jeweils nur am

31.12

. erfolgt?

(ii) konforme unterjährige Verzinsung unterstellt wird (i_eff=8%

p . a .)

?

Wie sollen mit der

\frac{30}{360} -

Methode rechnen.

Über Anregungen wäre ich sehr dankbar!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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11:17 Uhr, 21.09.2010

Zur

i :

geometrische Verzinsung = Zinseszins

K_{n} = K_{o} \cdot q^{n}

Verdopplung bedeutet

2 K_{0} = K_{n}

den Rest einsetzen

2 K_{0} = K_{0} \cdot {1,08}^{n}

nach

n

auflösen ergibt die Anzahl der Jahre, da hängt dann noch ein Rest dran, welchen man in Tage umrechnen kann. Will man gleich die Tage berechnen kann man vermutlich auch mit

q^{\frac{t}{360}}

anstatt

q^{n}

rechnen.

ii:

Unterjährige Verzinsung bedeutet, dass jeden Tag ein bestimmter Zinssatz

p . A

. dem Konto gutgeschrieben und dann natürlich täglich weiterverzinst wird.
Leider werde ich aus der Aufgabe nicht schlau. Ich vermute aber, der effektive Jahreszins soll

8 %

betragen. Wenn das so ist, muss am Ende das gleiche rauskommen wie bei der "herkömmlichen" Zinseszinsmethode.

Im Detail:

r = \sqrt[360]{1,08} - 1

r = 1,0002138

das ist jetzt das

q

in unserer neuen Formel bei täglicher Verzinsung:

2 K_{0} = K_{0} \cdot {1,0002138}^{t}

Und siehe da, es kommt (bis auf Rundungsdifferenzen) das Gleiche wie bei

i

raus.

Etwas anderes ergibt sich, wenn

i = 8 %

als nominal Zinssatz

p . A

. zu verstehen ist.

unser

q

für die tägiche Verzinszung ist dann:

q = (1 + \frac{i}{360})

q = 1,0002222

Sollte die Aufgabe so zu verstehen sein, erreicht man die Kapitalverdopplung natürlich schneller.

BTW: Es gibt auch Mathelehrer und Mathebücher, die meinen, man müsse das mit einer e-Funktion rechnen.....

sunny2901 aktiv_icon

12:17 Uhr, 21.09.2010

vielen dank! mir ist leider grad aufgefallen, dass ich einen fehler beim abschreiben der aufgabe gemacht habe. und zwar bei

(i)

soll es die gemischte verzinsung sein. habs oben schon geändert. falls sich jdm damit auskennt, wäre eine kurze antwort super!

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13:00 Uhr, 21.09.2010

Unter den gänderten Voraussetzungen würde ich meine 2. Variante mit

q = 1,0002222

zur Lösung von

i

benutzen. Die Variante mit

q = 1,0002138

für ii.
Keine Garantie!

sunny2901 aktiv_icon

13:05 Uhr, 21.09.2010

Danke dir erstmal!

sunny2901 aktiv_icon

13:25 Uhr, 21.09.2010

i :

Also verstehe ich das dann so richtig:

2 k = k \cdot {1,000222}^{t}

\to t = {log}_{1,000222} k

würd mich über ein kurzes ja, falls es richtig ist freun! ;-)

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13:30 Uhr, 21.09.2010

Ich komm da auf

3119,82 . .

. also

3120 t,

also 8 Jahre und 8 Monate.

Wie bereits geschrieben, wegen der Interpretationsschwierigkeiten, keene Garantie.
Außerdem steht immer noch die Frage im Raum, ob ihr das mit ner e-Funktion machen sollt.......(Das geht natürlich auch, iss mir persönlich aber zu viel Gehampel)

sunny2901 aktiv_icon

13:34 Uhr, 21.09.2010

huch,
wie kommst du denn darauf? dachte, ich habs jetzt verstanden, aber scheinbar doch noch nicht.

PS: Nene das was du da machst sieht sehr nach unserem unterrichtsstoff aus. e-funktionen waren da noch nicht.

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13:35 Uhr, 21.09.2010

2 = {1,0002222}^{t}

\frac{log (2)}{log (1,0002222)} = t

sunny2901 aktiv_icon

13:36 Uhr, 21.09.2010

*autsch* richtig.

in meinen folgenden aufgaben ist es so, dass immer zum

30.6

. verzinst wird. wenn ich sowas hab, muss ich dann meine rechnung irgendwie splitten?

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13:38 Uhr, 21.09.2010

30.06

. ist halt halbjährliche Verzinsung......
Bastel mal ein wenig an meinen Rechnungen rum.

sunny2901 aktiv_icon

13:43 Uhr, 21.09.2010

Naja,
also wenn ich nur noch ein halbes jahr habe, dann sind es

180

tage. aber die sind es ja nur im ersten jahr. danach hab ich wieder volle

360

tage nach denen verzinst wird.

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13:45 Uhr, 21.09.2010

Ich muss leider weg.
Als Tipp: eben hatten wir

360

Zinsperioden, jetzt sinds halt lediglich 2. Du musst das

q

neu berechnen.......

sunny2901 aktiv_icon

13:54 Uhr, 21.09.2010

Falls du das nochmal lesen solltest:
also ich müsste das ja auch auf den tag genau berechnen. aber mit 2 periodenlängen hätte ich ja immer nur zum halbjahr. aber eigentlich sind es ja auch

360

tage. nur eben im ersten jahr nicht.

Josef48

14:27 Uhr, 21.09.2010

Hallo,

Aufgabe i)

$2 = {1, 08}^{n} * (1 + n^{*} * 0, 08)$

n = 9,0065 Jahre

Somit werden 9 volle Jahre Zinseszinsen berechnet und für den fehlenden Rest (=t Tage) lineare Zinsen.

$2 = {1, 08}^{9} * (1 + 0, 08 * \frac{t}{360})$

t = 2,24 = 3 Tage,

d.h. Kapitalverdopplung tritt nach 9 Jahren und 3 Tagen.

Viele Grüße

Josef

Josef48

14:27 Uhr, 21.09.2010

Hallo,

Aufgabe i)

$2 = {1, 08}^{n} * (1 + n^{*} * 0, 08)$

n = 9,0065 Jahre

Somit werden 9 volle Jahre Zinseszinsen berechnet und für den fehlenden Rest (=t Tage) lineare Zinsen.

$2 = {1, 08}^{9} * (1 + 0, 08 * \frac{t}{360})$

t = 2,24 = 3 Tage,

d.h. Kapitalverdopplung tritt nach 9 Jahren und 3 Tagen.

Viele Grüße

Josef

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