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vektorielles Flächenelement Zylinderkoordinaten

Universität / Fachhochschule

Tags: Oberflächenintegral, Zylinderkoordinaten

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10:58 Uhr, 23.03.2016

Gesucht ist ein Oberflächenintegral:

\int \int_{S} \vec{F} \cdot d \vec{A}

\vec{F} = (\begin{matrix} y \\ x \\ z^{2} \end{matrix})

die Grenzen sind:

z = 1

und

z = x^{2} + y^{2}

Den Satz von Gauß möchte ich nicht anwenden.
Mal wieder scheitert es an der korrekten Parametrisierung. Ich weiß, dass ich Zylinderkoordinaten benutzen muss und dass das (skalare) Oberflächenelement für Zylinderkoordinaten

dA

= r \cdot d φ \cdot d z

ist.

Aber wie lässt sich das auf das vektorielle Oberflächenelement übertragen? Wie komme ich auf

\vec{d A}

im Falle des Zylinders?

Wenn ich das

\vec{d A}

dann erstmal habe, sollte die Berechnung meiner Meinung nach lauten:

\int_{0}^{2 π} \int_{1}^{r^{2}} \vec{F} \cdot d \vec{A}

und

d \vec{A}

müsste ersetzt werden mit

d φ

und

d z

. Allerdings bin ich selbst da am Grübeln, wenn ich von

z = 1

bis

z =

r² integriere, denn da könnte ja etwas in Abhängigkeit von r² herauskommen.

Das Ergebnis soll sein:

\frac{2}{3} π

Über jedwede Hilfe und Tipps bin ich dankbar.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

11:17 Uhr, 23.03.2016

Hallo
ich habe korrigiert!
du hast offensichtlich ein Paraboloid mit Scheitel in 0.

a)

zeichne einen Querschnitt und lese daraus die Normaleinrichtung ab.

b)

berechne von

F (x, y) = (x, y, Z {(x, y)}^{T}

die Ableitungen nach

x

und

y

also die 2 Tangenten und bilde das Kreuzprodukt.

ob du das Integral auch über die obere Deckfläche rechnen sollst geht aus deiner Beschreibung nicht hervor.
die Grenzen für

r

sind falsch falls wie ich annehme ausser

z = 1

noch

z \geq 0

gegeben ist laufen sie von 0 bis 1
Gruß ledum

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13:42 Uhr, 23.03.2016

Hallo ledum, danke für deine Antwort!

a)

Ja, es ist ein Paraboloid. Ich habe mal versucht, einen Querschnitt samt Normalenvektor zu erstellen.

b)

Jetzt bin ich mir nicht sicher. Rechne ich hier mit

\vec{F} = (\begin{matrix} y \\ x \\ z^{2} \end{matrix})

oder mit

\vec{F} = (\begin{matrix} y \\ x \\ {(x^{2} + y^{2})}^{2} \end{matrix})

?

Im ersteren Fall wäre das Kreuzprodukt

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix}),

im letzteren

(\begin{matrix} 4 y^{3} + 4 x^{2} y \\ 4 x^{3} + 4 x y^{2} \\ - 1 \end{matrix})

.

Ich denke nicht, dass ich das Integral auch über die obere Deckfläche rechnen soll.

An welcher Stelle muss ich in Zylinderkoordinaten wechseln?

Aktueller Stand wäre ja jetzt:

\int \int_{S} \vec{F} \cdot (\vec{F x} \times \vec{F y})

dA

Stimmt das soweit?
Danach in die Zylinderkoordinaten wechseln?

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08:25 Uhr, 24.03.2016

Okay, ich glaube, ich bin auf die Lösung gekommen (zumindest das Ergebnis stimmt überein). Meine Lösung lautet:

\int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} | (\begin{matrix} r cos φ \\ r sin φ \\ r^{2} \cdot ({cos}^{2} φ + {sin}^{2} φ) \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix}) |

d φ

Das ergibt schließlich das Integral über die oben genannten Grenzen von

\frac{2}{3} π,

was auch der vorgegebenen Lösung entspricht. Ich hoffe, dass der Lösungsweg soweit richtig war...

ledum aktiv_icon

15:57 Uhr, 24.03.2016

Hallo
mit

F

hatte ich die mit

x, y

parametrisierte Fläche gemeint nicht den Kraftvektor., ich hatte

F (x, y)

ja auch hingeschrieben.
nicht

\vec{F},

aber der gleiche Name irritiert schon.
damit wäre

\vec{A} = {(1,0,2 x)}^{T} \times {(0,1,2 y)}^{T}

Einheitsvektor *|dA|
wie du auf ein Kreuzprodukt in dem Integral kommst verstehe ich nicht. und dA=r*dr*d

φ

nicht wie bei dir.
Gruß ledum

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21:50 Uhr, 26.03.2016

Ich komme über Ostern nicht zum Rechnen, ich werde die Frage erstmal auf Beantwortet stellen, damit ich keine Mails mehr bekomme, aber eventuell kommt noch eine Rückfrage.

Danke noch mal an ledum, ich schaue mir das nächste Woche noch mal an.

Ronsen aktiv_icon

09:20 Uhr, 30.03.2016

Okay, also das Kreuzprodukt

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 2 x \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 y \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 2 x \\ - 2 y \\ 1 \end{matrix})

Dann sei

d \vec{A}

in Zylinderkoordinaten

= (\begin{matrix} - 2 r cos φ \\ - 2 r sin φ \\ 1 \end{matrix}) \cdot r \cdot d r \cdot d φ

Dann multipliziere ich mit

\vec{F} = (\begin{matrix} y \\ x \\ z^{2} \end{matrix})

Wie lautet

\vec{F}

in Zylinderkoordinaten? Ich bin mir bei der z-Komponente nicht sicher. Wenn

z^{2} = r

wäre, dann wäre

\vec{F} = (\begin{matrix} r sin φ \\ r cos φ \\ r \end{matrix})

So würde ich schließlich auf folgendes Ergebnis kommen:

\int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} (\begin{matrix} r sin φ \\ r cos φ \\ r \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - 2 r cos φ \\ - 2 r sin φ \\ 1 \end{matrix}) \cdot r \cdot d r \cdot d φ = 2 \frac{π}{3}

Wenn das nun der richtige Lösungsweg war, woher weiß ich, dass

z^{2} = r

ist? Ich hätte eher vermutet, dass

z = r^{2}

ist. Warum? Weil die Grenze

z = x^{2} + y^{2}

gegeben war und bei Zylinderkoordinaten ja gilt:

r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

. Quadriere ich dies, komme ich gerade auf

z

. Aber vielleicht spielt das bei der Umrechnung von

\vec{F}

in Zylinderkoordinaten ja gar keine Rolle.

ledum aktiv_icon

20:07 Uhr, 30.03.2016

Hallo
ich hatte nicht genau hingesehen, natürlich ist

z = r^{2},

für die Fläche A denn

x^{2} + y^{2} = r^{2} \in \vec{F}

steht aber

z^{2}

also

r^{4}

du solltest anders als ich mit das Vektorfeld

\vec{F}

und die Fläche A auch

F

nennen, das verwirrt.
Wann du iin Zylinderkoordinaten wechselst ist egal es geht im Zweifelsfall auch ohne und das ntegral wird halt ungemütlicher,

Gruß ledum

Ronsen aktiv_icon

23:01 Uhr, 30.03.2016

Also mit

z = r^{2}

ergibt sich

\vec{F} = (\begin{matrix} r sin φ \\ r cos φ \\ r^{4} \end{matrix})

Ersetze ich in meiner letzten Gleichung

\vec{F}

damit, dann komme ich nicht auf das gewünschte Ergebnis von

2 \frac{π}{3}

. So komme ich auf

\frac{π}{3}

. Irgendwo steckt da noch der Wurm drin...

Edit: Falls jemand sich noch mal die Originalaufgabe ansehen will, es ist Beispiel

3

in diesem Link:
http://www.iith.ac.in/~ashok/Maths_Lectures/Tutorial/GaussExamples.pdf

Mit dem Satz von Gauss komme ich auch auf dieses Ergebnis, aber für mich wäre es natürlich optimal, wenn ich auch den alternativen Weg verstehe. Damit kann ich meine Rechnungen im Zweifelsfall vergleichen.

ledum aktiv_icon

22:08 Uhr, 31.03.2016

Hallo

i

ich komme auf

2 \cdot \frac{π}{6}, r^{5}

integriert über 0 bis

2 π

und 0 bis 1
aber wenn du das mit dem Volumen vergleichst musst du ja noch den oberen Rand dazukämen also die Kreisscheibe, von der du munter gesagt hast, ich glaub die soll ich nicht- der Satz von Gauss gilt aber nur, wenn du über den gesamten Rand von

V

integrierst. und in deinem Bsp ist ja nur das Volumenintegral berechnet.
Besser immer gleich die ganze Aufgabe posten und nicht das, was mn dafür hält!
Gruß ledum

Ronsen aktiv_icon

09:02 Uhr, 01.04.2016

Hi ledum,

sorry, dass ich nicht gleich die ganze Aufgabe gepostet habe. Ich werde das in Zukunft berücksichtigen. Ich hatte das Lösungsprinzip nicht verstanden, aber vielleicht ja jetzt.

Ich denke, das läuft nun darauf hinaus, eine Summe aus zwei Flächen bilde, Mantel und Deckfläche.
Für die Deckfläche kommt das Kreuzprodukt nicht mehr aus der Funktion

z = x^{2} + y^{2},

sondern aus der zweiten Grenze:

z = 1,

richtig?

Damit ergibt sich für

d \vec{A}

der Deckfläche

= (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) \cdot r d r d φ = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) r d r d φ

Das wird auch mit

\vec{F}

multipliziert und ergibt schließlich gerade dasselbe wie der Mantel, nämlich

\frac{π}{3}

. Das Ergebnis ist dann die Summe von Mantel und Kreisfläche, also

\frac{2}{3} π

.

Hier noch mal ausformuliert:

Lösung

= \int_{0}^{1} \int_{0}^{2 π} \vec{F} \cdot d \vec{A}

(Mantel)

+ \int_{0}^{1} \int_{0}^{2 π} \vec{F} \cdot d \vec{A}

(Deckfläche)

= \frac{2}{3} π

Kommt das so hin?

ledum aktiv_icon

11:47 Uhr, 01.04.2016

offensichtlich ja
Gruß ledum

Ronsen aktiv_icon

15:33 Uhr, 01.04.2016

Okay, danke noch mal!
Jetzt bin ich hoffentlich wieder ein Stückchen schlauer...

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