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Vektorprodukt/Kreuzprodukt
Schüler Fachschulen, 12. Klassenstufe
Tags: Geometrie
 
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anonymous 09:03 Uhr, 08.06.2004  |
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Hey, ich halte demnächst in Mathe eine Lernleistung zum Thema Vektorprodukt. Ich soll dabei auch erklären, warum das Vektorprodukt orthogonal zu den beiden gegebenen Vektoren ist.. Aber wir erklärt/begründet man das? *konfus* Es soll ja auch jeder verstehen und nicht gleich abschalten, daher bringt es nichts, einen hoch wissenschaftlichen Beweis dazu vorzulegen.. Bitte um Aufklärung :) |
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Hallo Laura! (*) Zwei Vektoren a und b (aus dem IR^3) stehen bekanntlich genau dann senkrecht aufeinander, wenn das Skalarprodukt a*b der beiden Vektoren 0 ergibt. Sind nun u und v zwei Vektoren aus dem IR^3, so "bildet" das Kreuzprodukt u x v (x sei das "Mal-Zeichen" für die "Kreuzmultiplikation") einen neuen Vektor (nennen wir ihn mal w) aus dem IR^3: w:=u x v a) Berechne nun das Skalarprodukt w*u, du solltest 0 herausbekommen. b) Ebenso sollte bei dem Skalarprodukt w*v als Ergebnis 0 herauskommen. Aus a),b) folgt dann wegen (*), dass w senkrecht auf u und das w senkrecht auf v steht (zur Erinnerung: w war das Kreuzprodukt aus u und v). Das war die Anleitung. Versuche es damit mal alleine, vielleicht kann ich dir bei Problemen heute mittag nochmal weiterhelfen, aber jetzt muss ich leider dringend weg... Viele Grüße Marcel |
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Erstmal vielen Dank Marcel, die Sache mit dem Skalarprodukt habe ich mir bereits angeeignet gehabt, dass Problem ist nur, wir hatten es nicht im Unterricht und auf meine Frage an meine Mathelehrerin, ob ich denn auch das Skalarprodukt erläutern soll, bekam ich als Antwort: nein, nur das Vektorprodukt. Deswegen war ich auch sehr verwirrt, wie man es denn sonst logisch und einfach verständlich für jeden erklären soll. Am besten, ich lasse mir von meiner Lehrerin mal selbst erläutern, warum es denn nun orthogonal ist und wie sie es erklären würde;) Laura |
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Hallo Laura, > Erstmal vielen Dank Marcel, Bitte :-) > die Sache mit dem Skalarprodukt habe ich mir bereits angeeignet gehabt, > dass Problem ist nur, wir hatten es nicht im Unterricht und auf meine Frage > an meine Mathelehrerin, ob ich denn auch das Skalarprodukt erläutern soll, > bekam ich als Antwort: nein, nur das Vektorprodukt. Habt ihr denn eine Formel für den Winkel zwischen zwei Vektoren? Vielleicht will sie einen Beweis über den Kosinus-Satz? Wenn ihr keine Formel habt, ich habe eine gefunden, die in meinem (alten) Schulbuch (komischerweise, finde ich) vor dem Skalarprodukt steht (die man auch eleganter schreiben kann mithilfe des Skalarproduktes von Vektoren, aber das darfst du ja (noch) nicht benutzen...): Sind a=(a1,a2,a3) und b=(b1,b2,b3) aus IR³, dann gilt: cos(Winkel zwischen a und b)=(a1 b1+a2 b2+a3 b3)/[(Wurzel(a1²+a2²+a3²))*(Wurzel(b1²+b2²+b3²))] Der Beweis dazu geht über den Kosinussatz und durch Anwendung von Pythagoras, wenn man die Länge des Vektors (a-b) berechnet (man kann dies mit diesen zwei Lösungswegen machen) und am Ende geeignet zusammenfasst. Es ist zwar nicht schwer, aber ohne Skizze will ich das hier nicht tun; und leider kann man hier keine Skizzen einfügen! Vielleicht steht dieser Beweis aber auch in deinem Schulbuch... > Deswegen war ich auch sehr verwirrt, wie man es denn sonst logisch und > einfach verständlich für jeden erklären soll. Ich finde, der Weg, den ich oben beschrieben hatte, ist am einfachsten; außerdem ist die Idee ja auch leicht zu behalten. Naja,... > Am besten, ich lasse mir von meiner Lehrerin mal selbst erläutern, warum es > denn nun orthogonal ist und wie sie es erklären würde;) Vielleicht kann sie dir ja wenigstens mal ein paar Stichworte geben, damit du wenigstens weißt, was du denn nun benutzen darfst und was nicht... Viele Grüße Marcel |
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