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verallgemeinerte Kreisgleichung in R^2 und C

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Tags: Angewandte Lineare Algebra, Geometrie, Komplex, Kreise und Kreisteile

shiroxx aktiv_icon

10:52 Uhr, 17.11.2020

Guten Morgen,

es geht um Kreise in der Ebene, wobei diese mit den komplexen Zahlen identifiziert wird. Nun habe ich in "Agricola, Friedrich (2015):Elementargeometrie". Folgende Definition für einen verallgemeinerten Kreis gefunden:

E (x^{2} + y^{2}) + F_{1} x + F_{2} y + G = 0

mit

(x, y) \in R^{2}

Und die Koeffizienten jeweils reel. Wenn

E = 0

und

(F_{1}, F_{2}) \neq 0

beschreibt die Gleichung eine Gerade. Ich frage mich jetzt wie man sich diese Gleichung überlegen kann, da ich diese vorher noch nie gesehen habe und nur die klassische Kreisgleichung kenne, wo man den Mittelpunkt und Radius ablesen kann.

Im zweiten Schritt wird zu den komplexen Zahlen übergegangen und es wird

z = x + i y

und

F = \frac{1}{2} (F_{1} - F_{2})

gesetzt. Warum wird das gemacht? So ist die allgemeine Kreisgleichung äquivalent zu

E ∣ z ∣^{2} + F z + \overline{F} \overline{z} + G = 0

Hier verstehe ich den dritten Summanden nicht.

Vielleicht könnt ihr mir ja helfen, die Gleichung zu verstehen. Ich danke euch.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Respon

11:02 Uhr, 17.11.2020

Betrachten wir vorerst

E = 1 (

Bei

E \neq 1

kann man die Gleichung normieren )
Du kennst die allgemeine Kreisgleichung

{(x - m)}^{2} + {(y - n)}^{2} = r^{2}

Dabei ist

M (m | n)

der Mittelpunkt und

r

der Radius.

\Rightarrow

x^{2} + y^{2} - 2 \cdot m \cdot x - 2 \cdot n \cdot y + m^{2} + n^{2} - r^{2} = 0

Setze nun

F_{1} = - 2 \cdot m, F_{2} = - 2 \cdot n

und

G = m^{2} + n^{2} - r^{2}

Also:
Aus

x^{2} + y^{2} + F_{1} \cdot x + F_{2} \cdot y + G = 0

lassen sich sofort

m, n

und

r

berechnen.

pwmeyer aktiv_icon

11:09 Uhr, 17.11.2020

Hallo,

ich fange mal hinten an: Sei

K

ein Kreis in der komplexen Ebene mit Mittelpunkt

M

und Radius

r

.
Dann sind die Punkte

z

auf dem Kreis durch

| z - M | = r

charakterisiert. Quadriert man das:

r^{2} = {| z - M |}^{2} = (z - M) \cdot \bar{(z - M)} = {| z |}^{2} - \bar{M} \cdot z - M \cdot \bar{z} + {| M |}^{2}

Damit ist die komplexe Gleichung im Prinzip hergeleitet, wenn man noch

r^{2}

nach rechts bringt. Alles weitere ist Bezeichnungskosmetik.

Gruß pwm

shiroxx aktiv_icon

11:20 Uhr, 17.11.2020

Danke euch! Ich kann das vorgehen von euch beiden nachvollziehen.
Ich hätte jedoch noch eine Frage, wie ich dann zu der komplexen Gleichung komme, die sieht ja noch ein wenig anders aus. Vor allem die Vorzeichen. Wurde deswegen

F := \frac{1}{2} (F_{1} - F_{2})

gesetzt?

HAL9000

11:24 Uhr, 17.11.2020

Du hast dich da leicht verschrieben: Tatsächlich ist

F = \frac{1}{2} (F_{1} - i F_{2})

. Damit ergibt sich nämlich

F z + \overline{F} \overline{z} = \frac{1}{2} (F_{1} - i F_{2}) (x + i y) + \frac{1}{2} (F_{1} + i F_{2}) (x - i y) = \dots

Rechne das mal komplett aus und vereinfache so weit es geht.

shiroxx aktiv_icon

17:36 Uhr, 17.11.2020

Ich danke auch dir, für deine super Hilfe. Ich habe jetzt alles ausgerechnet und bekomme dann am Ende einfach nur

F_{1} x + F_{2} y

raus.

Jetzt versuche ich noch alles zusammen zu bringen

shiroxx aktiv_icon

17:24 Uhr, 22.11.2020

Ich habe eine weitere Frage zu der verallgemeinerten Kreisgleichung im Komplexen. Weiter steht im Buch, dass ein Zentrum mit

- \overline{F} / E

und Radius

\sqrt{(∣ F ∣^{2} - E G)} / ∣ E ∣

. Daraur komme ich leider auch gar nicht.

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