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Verständnisfrage zur Zeitkonstante Tau
Schüler Gesamtschule, 13. Klassenstufe
Tags: elektrotechnik, Entladeprozess, Kondensator, Ladeprozess
 
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Hallo! Hatte heute eine Mathe-Vorlesung zu Exponentialfunktionen, in der der Prozess der Kondensatorentladung als exponentielle Funktion behandelt wurde. Dabei kam eine Zeitkonstante mit ins Spiel. Das sogenannte Tau=R*C I(t)=I0 exp(-t/Tau) Da es eine Halbwertszeit für die vorhandene Ladung gibt (beim entladen, wie beim aufladen) ist es klar, dass die Funktion exponentiell steigen muss. Und das dieser exponentielle werd mit I0 multipliziert werden muss, ist auch klar, da an dieser Stelle ist (I(0)=I0. Aber wieso steht im Exponenten durch "/-Tau"? Was hat das Tau da zu suchen? Wieso wird die Zeit denn noch durch (-Widerstand*Kondensatorladung) geteilt??? Wenn ich mich recht entsinne war der Widerstand und gleich die Kondensatorladung (???)] Ich habe auch schon ein bisschen recherchiert, aber leider nichts dazu gefunden, weshalb ausgerecht dieser Bruch im Exponenten auftaucht. Wäre euch wirklich sehr dankbar, wenn mir jemand weiterhelfen könnte greetings ff-freak PS: Mathematische Umformungen sind kein Problem, aber wenn es um Physik geht, kenn ich mich leider fast gar nicht aus. Deswegen bitte ich euch das für einen Anti-Physiker zu schreiben. Also einfach erklären, weil ich blick oft nicht durch so eine Art von logischen Schlussfolgerungen. Freue mich auf eine Antowrt . Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Wenn ein Kondensator der Kapazität C auf die Spannung Uo geladen und dann über einen Widerstand R entladen wird, dann gilt für die Kondensatorspannung
U(t) = U0 * e^(-t/(R*C))
Der Entladestrom ist I = U/R, also
I(t) = U(t)/R = U0/R * e^(-t/(R*C)) I(t) = U(t)/R = I0 * e^(-t/(R*C))
Die Herleitung findest du im Physikbuch. Beachte, dass die Dimension von R*C eine Zeit ist, denn die Einheit des Widerstandes ist 1V/A und die der Kapazität ist 1A*s/V.
Was man sich merken sollte ist, dass während eines Zeitintervalls der Länge R*C sowohl die Kondensatorspannung als auch der Entladestrom auf ein e-tel ( = 1/2,718...) absinken.
GRUSS, DK2ZA
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Danke erstmal für deinen Beitrag. Das mit der zeitlichen Dimension hatte ich vermutet, weil im Exponenten ja stand und das ganze als Zeitkonstante bezeichnet wurde. Aber leider habe ich noch nicht den logischen Zusammenhang verstanden. Ich werde einfach mal in meiner Büchersammlung finden. Habe viele und vielleicht findet sich ja irgendwo etwas. Würde mich trotzdem sehr freuen, wenn vielleicht jemand den Beweis bzw. die logischen hintergründe für das Auftreten von Tau in der Gleichung mit hier im Forum erläutern könnte. Auf jeden Fall vielen Dank ! greetings ff-freak |
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C = Kapazität Q = Ladung U = Spannung I = Strom = d(Q(t))/dt R = U/I t = Zeit
Beim Kondensator gilt C = Q/U
Damit haben wir am Kondensator:
U(t) = Q(t)/C
dU(t)/dt = 1/C * dQ(t)/dt
dQ(t)/dt < 0, da der Kondensator entladen wird. I(t) > 0, da I(t)*R = U(t) und U(t) > 0. Deshalb das Minuszeichen:
dU(t)/dt = 1/C * (-I(t))
dU(t)/dt = 1/C * (-U(t)/R)
dU(t)/dt = -1/(R*C) * U(t)
Lösung dieser Difgl. ist U(t) = 0 oder U(t) = U0 * e^(-t/(R*C))
GRUSS, DK2ZA
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WOW! Vielen vielen Dank DK2ZA! Bin dir wirklich sehr dankbar, weil ich schon den ganzen Abend daran sitze und das nicht verstehe. Das sieht wirklich schön aus. Werde mir das jetzt zu Gemüte führen und es versuchen zu verstehen, wenn Fragen auftauchen, meld ich mich nochmal. Auf jeden Fall vielen, vielen, herzlichen Dank nochmals!! greetings ff-freak |
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Also hat alles geglückt. Konnte die Differnzialgleichung über das Integral (d(Ut)/dt)/U(t)=ln(U(t)) lösen und bin auf den einen Ausdruck gekommen. Das die zweite Lösung 0 sein muss ist klar, denn zum Zeitpunkt 0 kann noch gar nichts abgeflossen sein (da erst da die Spannung angelegt wird). Einzige Frage, die ich habe: Wenn man das für den Ladeprozess betrachtet hätte, dann wäre später richtig? Und ganz am Anfang steht: I = Strom ) (also ) Dass I(t) später ist, hängt ja erst davon ab, ob entladen oder geladen wird, oder? Sprich oben macht es keinen Sinn gleich vorauszusetzen, dass I(t)=-Q'(t) wäre, da man noch nicht festgelegt hat, ob es sich entlädt oder auflädt, oder? Auf jeden Fall, nochmals vielen Dank. Freut mich wirklich, dass du dir die Mühe gemacht hast, das ganze nochmal herzuleiten, mein Abend ist gerettet, saß da schon seit der Busfahrt um Uhr dran. Tausend Dank!!! greetings ff-freak |
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Laden des Kondensators (siehe beigefügte Skizze):
Kondensatorspannung + Spannungsabfall am Widerstand = Batteriespannung
UC(t) + R * I(t) = UB
Da C = Q/U und I = dQ/dt folgt
1/C * Q(t) + R * dQ(t)/dt = UB
Lösung dieser Diffgl. ist
Q(t) = UB * C * (1 - e^(-t/(R*C))
weiter:
UC(t) = UB * (1 - e^(-t/(R*C))
I(t) = dQ(t)/dt = UB/R * e^(-t/(R*C))
GRUSS, DK2ZA
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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