Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » vollständige Induktion

vollständige Induktion

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen, Reihen, Vollständig Induktion

ox0alina0xo aktiv_icon

18:04 Uhr, 21.02.2012

Hey,

ich schreib bald AnA 1 und es kommt eine Aufgabe mit vollst. Induktion dran. Hab mir aus der Fachschaft ein paar Klausuren der letzten Jahre kopiert.

Da wäre einmal die Aufgabe:
Zeige, dass

\forall n \in ℕ

gilt:

\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{(2 k + 1) (2 k - 1)} = \frac{n}{2 n + 1}

.

Schön und gut. Das gilt für

n = 1,

aber ich verhaspel mich im Induktionsschritt. Ich komme zu der Stelle, an der man

\frac{n}{2 n + 1} + \frac{1}{(2 n + 1) (2 n - 1)}

\frac{1 + n (2 n - 1)}{(2 n + 1) (2 n - 1)}

zusammenfasst. Danach verkompliziert sich alles unnötig. Dann habe ich es aus der anderen Richtung versucht.
Wollte also von

\frac{n + 1}{2 (n + 1) + 1} = \frac{n + 1}{2 n + 6}

"losgehen". Da kam ich dann zu auch keinem schlüssigen Ergebnis.

Eine Aufgabe aus einer anderen Klausur hat mir ähnliche Probleme beschert:

Zeige, dass

\forall n \in ℕ

gilt:

\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{(k + 1) (k - 1)} = \frac{1}{2} - \frac{1}{n + 2}

Auch hier habe ich selbst geschafft, festzustellen, dass das für

n = 1

gilt.
Wenn ich beim Induktionsschreiit von

\sum_{k = 1}^{n + 1}

ausgehe, lande ich nur bei einer Lösung, die

\frac{1}{2} - \frac{1}{n + 3}

sehr ähnlich ist und zwar

\frac{1}{2} - \frac{1}{n + 1}

. Ich hab das oft nachgerechnet und keine Fehler gefunden.

Wahrscheinlich ist das alles total offensichtilich, aber kann mir da vllt jemand bei helfen?

LG,
Alina

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."