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vollständige Induktion

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Tags: Sonstig

F2222 aktiv_icon

17:24 Uhr, 05.04.2025

Hallo zusammen, ich habe Schwierigkeiten mit der vollständigen Induktion. Ich habe viel gerechnet, komme aber nicht auf die Lsg. Ich find meinen Fehler nicht

Ich überspringe mal den Induktionsanfang und die Annahme und komme direkt zu meinem Problem mit dem Induktionsschritt.

Behauptung:

\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{i^{2}} \leq 2 - \frac{1}{n}

für alle

n \in ℕ

Induktionsschritt:

\sum_{i = 1}^{n + 1} \frac{1}{i^{2}} \leq 2 - \frac{1}{n + 1}

\sum_{i = 1}^{n + 1} \frac{1}{i^{2}} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{i^{2}} + \frac{1}{(n + 1)^{2}}

= 2 - \frac{1}{n} + \frac{1}{(n + 1)^{2}}

Alles auf ein Bruch:

= 2 - \frac{(n + 1) ² + n}{n * (n + 1)^{2}} \leq 2 - \frac{1}{n}

Die "2-" habe ich so gelassen, weil sie schon auf der rechten Seite steht. Leider schaffe ich es nicht, den Bruch so zu vereinfachen, dass die Gleichung stimmt. Habe ich schon einen Fehler in meiner Gleichung?

Vielen Dank für euer Support!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

KL700 aktiv_icon

17:38 Uhr, 05.04.2025

de.wikipedia.org/wiki/Basler_Problem

pwmeyer aktiv_icon

18:14 Uhr, 05.04.2025

Hallo,
Du hast Gleichheit aufgeschrieben. Aber es geht um eine Ungleichung! Und nur eine Ungleichung ist zu zeigen. Überlege Dir was man tun muss / kann, um einen Ausdruck der Form

2 - x

nach oben abzuschätzen

... . .

HAL9000

18:30 Uhr, 05.04.2025

@F2222

Bei "Alles auf ein Bruch" begehst du einen Vorzeichenfehler im Zähler:

Tatsächlich ist

2 - \frac{1}{n} + \frac{1}{{(n + 1)}^{2}} = 2 - \frac{{(n + 1)}^{2} - n}{n {(n + 1)}^{2}}

.

Außerdem musst du nachweisen, dass dieser Term

\leq 2 - \frac{1}{n + 1}

ist (statt des von dir in dieser Zeile geschriebenen

2 - \frac{1}{n}

).

-------------------------------------------------------------------------

Alternativbeweis (über Teleskopsumme): Es ist

\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{i^{2}} \leq 1 + \sum_{i = 2}^{n} \frac{1}{i (i - 1)} = 1 + \sum_{i = 2}^{n} (\frac{1}{i - 1} - \frac{1}{i}) = 1 + \frac{1}{2 - 1} - \frac{1}{n} = 2 - \frac{1}{n}

F2222 aktiv_icon

15:14 Uhr, 06.04.2025

Hallo zusammen,

vielen Dank für eure Unterstützung:

Ich habe meine Gleichung jetzt soweit:

2 - \frac{1}{n} + \frac{1}{(n + 1)^{2}} \leq 2 - \frac{1}{(n + 1)}

das habe ich so Umgeformt/Vereinfacht bis das mein Ergebnis ist:

\frac{1}{(n + 1)^{2}} + \frac{1}{(n + 1)} \leq \frac{1}{n}

Damit ist doch bewiesen das die Linkeseite immer kleiner wäre als die Rechte. Meint ihr das ist als Lsg ausreichend?

HAL9000

15:20 Uhr, 06.04.2025

Und du meinst, der Ungleichung

\frac{1}{{(n + 1)}^{2}} + \frac{1}{(n + 1)} \leq \frac{1}{n}

"sieht" man sofort an, dass sie gilt? Tja, dann hast du einen sehr guten Blick.

Ich fürchte, so manche Lösungsbewerter haben nicht diesen Blick und wollen das etwas klarer bewiesen haben. ;-)

F2222 aktiv_icon

16:14 Uhr, 06.04.2025

Ich denke du hast recht :-)

Ich habe noch weiter rumprobiert und komme nun von:

\frac{1}{(n + 1)^{2}} + \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n} \leq 0

auf

- \frac{1}{n (n + 1)^{2}} \leq 0

und das sollte doch immer kleiner gleich 0 sein? Ich weiß nicht, ob ich mich auch irgendwo verrechnet habe.

Könnte ich die Gleichung sogar weiterauflösen auf:

- 1 \leq 0

pivot aktiv_icon

17:39 Uhr, 06.04.2025

Ja, habe ich auch so. So wie es dasteht gilt die Lösung immer für alle

n \in ℕ

. Jetzt muss man nur noch die Definitionsmenge von

n

berücksichtigen, bzw. man berücksichtigt sie schon vorher, nämlich dass

n \in ℕ^{+}

ist.

calc007

22:35 Uhr, 06.04.2025

"Könnte ich die Gleichung sogar weiter

()

auflösen auf:

- 1 \leq 0

? "

- \frac{1}{n \cdot {(n + 1)}^{2}} \leq 0

Es handelt sich streng genommen um eine Un-Gleichung bzw. Relation.
Aber die Operation
ganze Relation mal

(n \cdot {(n + 1)}^{2})

führt mit dem Wissen oder unter Angabe, dass

n > 0

vorrausgesetzt war, sehr berechtigt zu:

- 1 \leq 0 \cdot n \cdot {(n + 1)}^{2} = 0

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