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vollständige Induktion - n! <= 2(n/2)^n

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Tags: Analysis, Induktion, Vollständig Induktion

Marie1327 aktiv_icon

15:12 Uhr, 28.10.2022

Okay, wir sollen folgende Induktion beweisen:
Für alle

n

aus

ℕ

gilt

n! \leq 2 {(\frac{n}{2})}^{n}

Beweisen Sie mit vollständiger Induktion.

Wir haben als Tipp die Bernoulli-Gleichung gegeben

({(1 + x)}^{n} \geq

1+nx))

Der Induktionsanfang ist kein Problem (setze

n = 1,

dann beide Seiten einmal durchrechnen), beim Induktionsschritt hänge ich leider.

Ich habe bisher:

(n + 1)! \leq 2 {(\frac{n + 1}{2})}^{n + 1}

Hier spalte ist

\frac{n + 1}{2}

auf.

(n + 1)! \leq 2 {((\frac{n}{2}) + (\frac{1}{2}))}^{n + 1}

Hier wende ich Bernoulli dann an.

(n + 1)! \leq 2 ((\frac{n}{2}) + (n + 1) \cdot (\frac{1}{2}))

(n + 1)! \leq 2 (\frac{2 n + 1}{2}))

Nun multipliziere ich die 2 vor der großen Klammer mit dem

\frac{...}{2}

(n + 1)! \leq 2 n + 1

n! \cdot (n + 1) \leq 2 n + 1

Ich bin mir auch nicht sicher, ob ich Bernoulli generell richtig angewendet habe und weiß jetzt auch nicht wirklich, wie ich weitermachen soll.
Habt ihr Ideen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

HAL9000

15:19 Uhr, 28.10.2022

Wie wird man denn im Induktionsschritt

n \to n + 1

vorgehen wollen? Sicher irgendwie so (dabei steht "IV" für Induktionsvoraussetzung):

(n + 1)! = (n + 1) \cdot n! \overset{I V}{\leq} (n + 1) \cdot 2 {(\frac{n}{2})}^{n} \overset{?}{\leq} 2 {(\frac{n + 1}{2})}^{n + 1}

Das heißt, so könnte es als Ungleichungskette funktionieren, WENN es gelingt den Part

\overset{?}{\leq}

auch tatsächlich zu begründen. Formen wir den doch mal äquivalent um:

(n + 1) \cdot 2 {(\frac{n}{2})}^{n} \overset{?}{\leq} 2 {(\frac{n + 1}{2})}^{n + 1} ∣ : (n + 1)

2 {(\frac{n}{2})}^{n} \overset{?}{\leq} {(\frac{n + 1}{2})}^{n} ∣ : {(\frac{n}{2})}^{n}

2 \overset{?}{\leq} {(\frac{n + 1}{n})}^{n}

2 \overset{?}{\leq} {(1 + \frac{1}{n})}^{n}

Ja, und das folgt tatsächlich aus der Bernoulli-Ungleichung.

Marie1327 aktiv_icon

15:42 Uhr, 28.10.2022

Also geht es dann so weiter:

2 \leq {(1 + (\frac{1}{n}))}^{n}

(Bernoullianwendung, wie du gesagt hast. Zeigen, dass das stimmt)

2 \leq {(1 + (\frac{1}{n}))}^{n} \geq (1 + n \cdot (\frac{1}{n}))

2 \leq {(1 + (\frac{1}{n}))}^{n} \geq (1 + (\frac{n}{1}) (\frac{1}{n}))

2 \leq {(1 + (\frac{1}{n}))}^{n} \geq (1 + 1)

2 \leq {(1 + (\frac{1}{n}))}^{n} \geq 2

2 = 2

Danke dir für die schnelle Antwort! :-)

HAL9000

15:51 Uhr, 28.10.2022

Nein, dieser Aufschrieb ist so einfach eine Katastrophe: In deiner letzten Zeile sieht das so aus, als folgerst du aus

a \leq b \geq c

die Gleichheit

a = c

, was kompletter Unfug ist.

Nochmal: Die ganze Kette mit den

\overset{?}{\leq}

kennzeichnet die äquivalenten Umformungen einer NOCH NICHT GESICHERTEN, ALSO ZU BEWEISENDEN Ungleichung. Nun gilt aber laut Bernoulli

{(1 + \frac{1}{n})}^{n} \geq 1 + n \cdot \frac{1}{n} = 1 + 1 = 2

, womit das letzte Glied der Umformungskette

2 \overset{?}{\leq} {(1 + \frac{1}{n})}^{n}

tatsächlich eine wahre Aussage ergibt, und damit rückwärts (wegen der äquivalenten Umformungen) auch alle anderen vorherigen Ungleichungen. So funktioniert die Logik hier!!!

Marie1327 aktiv_icon

15:56 Uhr, 28.10.2022

Okay, ja, der Aufschrieb ist echt Unfug so, muss ich wohl einsehen
Danke nochmal, wird anders aufgeschrieben :-)

HAL9000

15:59 Uhr, 28.10.2022

Sehr oft überlegt man sich den Part mit den

\overset{?}{\leq}

auch im stillen Kämmerlein und schreibt dann in der "Beweis-Reinschrift" das alles rückwärts auf, ohne Fragezeichen:

2 \leq {(1 + \frac{1}{n})}^{n}

gilt laut Bernoulli-Ungleichung

2 \leq {(\frac{n + 1}{n})}^{n} ∣ \cdot {(\frac{n}{2})}^{n}

2 {(\frac{n}{2})}^{n} \leq {(\frac{n + 1}{2})}^{n} ∣ \cdot (n + 1) = 2 \cdot (\frac{n + 1}{2})

(n + 1) \cdot 2 {(\frac{n}{2})}^{n} \leq 2 {(\frac{n + 1}{2})}^{n + 1}

Kann man so machen, ist logisch einwandfrei - erzeugt dann aber sehr oft die Nachfrage "Wie kommt man denn auf sowas?" ;-)

Daher halte ich die andere Darstellungsweise oben für didaktisch eingängiger.

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