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vollständiger Raum: X vollst <=> A abg. in X

Universität / Fachhochschule

Mengentheoretische Topologie

Tags: Mengentheoretische Topologie

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22:18 Uhr, 14.11.2012

Man zeige: Ein Teilraum

A

eines vollständigen metrischen Raumes

X

ist genau dann vollständig, wenn

X \ A

offen in

X

ist.

(\Rightarrow)

:
Sei

(X, d)

der zu betrachtende metrische Raum.
Sei

X \ A

offen in

X

. Formal habe ich nun zu zeigen:

\forall (x_{n}) \in A : \forall ε > 0 \exists N \in ℕ : d (x_{n}, x_{m}) < ε \forall m, n \geq N

Mein Problem ist nun: Ich kann formal nicht einbauen, dass ein Grenzwert

a

immer in A liegt... In der Cauchyfolge kann man den Grenzwert nicht einbauen...

Ist der Beweis noch gültig, wenn ich es mit dem gewöhnlichen Konvergenzbegriff angehe?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Sina86

23:27 Uhr, 14.11.2012

Hi,

X

ist ein vollständiger Raum. D.h. die Folge konvergiert gegen einen Grenzwert

a

X

(und dieser ist eindeutig, da

X

hausdorff ist). Dann liegt

a \in A

. Und nun sollte man aus der "gewöhnlichen" Konvergenz gegen diesen Grenzwert doch wieder die Definition für "Cauchy"-Konvergenz basteln können.

Gruß
Sina

Sina86

07:07 Uhr, 15.11.2012

Hm, meine letzte Bemerkung bitte ich zu streichen...

Du musst zeigen:

\forall (x_{n})_{n \in ℕ} : [\forall ɛ > 0 \exists n_{0} \in ℕ \forall n, m \geq n_{0} : d (x_{n}, x_{m}) < ɛ] \Rightarrow [\exists a \in A \forall δ > 0 \exists n_{0} \in ℕ \forall n \geq n_{0} : d (a, x_{n}) < δ]

Nun ist eine Cauchy-Folge gegeben, diese erfüllt die linke Seite der Implikation. Du kannst die Vollständigkeit des Raumes

X

benutzen um auf einen Grenzwert zu schließen, und die Abgeschlossenheit von

A

um auf die Lage dieses Grenzwertes zu schließen.

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15:18 Uhr, 15.11.2012

Hallo,

erstmal danke für deine Mühe mir das zu erläutern!

Ja, also, ich muss zeigen:
Jede Cauchyfolge in

A

hat ihren Grenzwert in

A

, wenn

A \subseteq X

abgeschlossen und

X

vollst. ist.

Ich sehe mal folgende Strategie:
Ich definiere mir die möglichen Grenzwerte am Rand von

A

und nimm ich mir eine beliebige Cauchyfolge her und weise nach, dass sie sich ihren Grenzwert zwar annähert aber nie übersteigt und damit (wegen der Abgeschlossenheit von

A

) in

A

bleibt. Ich sehe aber keine Möglichkeit die Vollständigkeit von

X

auszunutzen. Kannst du mir das noch vielleicht kurz erklären?

Sina86

17:31 Uhr, 15.11.2012

Nun, sei

(x_{n})_{n \in ℕ}

eine Cauchyfolge in

A

, d.h.

\forall n \in ℕ : x_{n} \in A

und

\forall ɛ > 0 \exists n_{0} \in ℕ \forall n, m \geq n_{0} : d (x_{n}, x_{m}) < ɛ

.

Nun gilt aber

A \subseteq X

und somit

\forall n \in ℕ : x_{n} \in M

und

\forall ɛ > 0 \exists n_{0} \in ℕ \forall n, m \geq n_{0} : d (x_{n}, x_{m}) < ɛ

. Damit ist

(x_{n})

also auch eine Cauchy-Folge in

X

und somit in

X

gegen einen Grenzwert konvergent, da

X

vollständig ist.

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17:59 Uhr, 15.11.2012

Nur so eine naive Frage:
Welche Menge soll denn

M

sein? Ist sie etwa eine Teilmenge von

A

?

Außerdem ist mir nicht klar, wo du die Abgeschlossenheit von

A

benutzt hast. Oder hast du sie implizit benutzt?

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19:36 Uhr, 15.11.2012

Außerdem:
Der Schritt von "

x_{n}

ist Cauchyfolge in

X

" auf "

x_{n}

konvergiert in

A

" ist m.M.n. zu schnell, besonders deshalb, weil nicht einhergeht, welche (entscheidende!) Voraussetzung hier benutzt wurde.

Ich bin mir leider nicht sicher, wie ich deinen Beweis vervollständigen kann und bitte dich dazu. :-)

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20:01 Uhr, 15.11.2012

Zur Rückrichtung übrigens folgender Vorschlag:

\forall x_{n} \in A : \forall ε > 0 \exists n_{0} \in ℕ : d (x_{n}, a) < ε \forall n \geq n_{0}

\Rightarrow \forall x_{n} \in A : \forall δ > 0 \exists N \in ℕ : d (x_{n}, x_{m}) < δ \forall n, m \geq n_{0} .

Wegen der Vollständigkeit wissen wir, dass

a \in A .

Die Eindeutigkeit des Grenzwertes hilft uns weiter, aber; wieso ist jedoch deshalb schon

X \ A

offen, man kann ja (zumindest nicht leicht) eine Umgebung in von

x \in X \ A

finden, sodass

U (x, ε)

immer in

X \ A

ist...

Sina86

20:28 Uhr, 15.11.2012

Hm, also zunächst einmal, es sollte nicht

M

sondern

X

sein (sorry).

(x_{n})

ist eine Folge in

A

und somit auch eine Folge in

X

. Die Abgeschlossenheit von

A

hab ich noch gar nicht verwendet.

Jede Cauchy-Folge in

A

ist eine Cauchy-Folge in

X

und wegen der Vollständigkeit von

X

existiert ein

a \in X

, gegen das die Folge konvergiert. Da die Folgeglieder jedoch aus einer abgeschlossenen Menge stammen, muss

a \in A

sein. Daher konvergiert deine Folge in

A

und somit ist

A

vollständig.

Sina86

20:36 Uhr, 15.11.2012

Bei der Rückrichtung gehst du doch davon aus, dass

A

vollständig ist. Zu zeigen ist, dass

A

abgeschlossen ist. Es gilt:

A

abgeschlossen

\Leftrightarrow \forall (x_{n})_{n \in ℕ} \subseteq A : [\exists a \in X : lim_{n \to \infty} x_{n} = a] \Rightarrow a \in A

Sei also

(x_{n}) \subseteq A

eine Folge, die gegen

a \in X

konvergiert. Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge.

A

ist vollständig, also liegt der Grenzwert in

A

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20:55 Uhr, 15.11.2012

Gut, dankeschön Sina, so ergibt es Sinn! :-)

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