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wann Substitution? wann Partialbruchzerlegung?

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration, Integrationsprobleme

ElectricEngineers aktiv_icon

23:39 Uhr, 21.07.2018

Hallo,
Ich habe neue verfahren gelernt um Integrationen zu lösen, leider weiß ich nicht, wann ich Partialbruchzerlegung und wann ich Substitution benutze. Mal angenommen ich hab diese Gleichungen:

Gleichung 1:

f (t) = \frac{t + 1}{t^{2} - 9}

Gleichung 2:

f (t) = \frac{4 t + 2 a}{t^{2} + a t + b}

Laut Aufgabenstellung, soll ich bei Gleichung 1 Partialbruchzerlegung und bei Gleichung 2 Substitution benutzen. Kann ich das auch einfach umgekehrt machen? Welche Methode würdet ihr wo benutzen? Warum? Wäre sehr nett, wenn mich mal jemand darüber aufklären könnte.

Danke

ledum aktiv_icon

23:56 Uhr, 21.07.2018

Hallo
im ersten Fall gibt es keine Substitution die hilft, im 2 ten Fall sieht man miit ein wenig genau hinschuen, dass im Zähler 2 mal die Ableitung des Nenners hat, dann hat man so was wie

\frac{f'}{f}

und da man die Ableitung von

ln (f)

kennt,

(ln (f)' = \frac{f'}{f}

ist klar, dass Substitution angesagt ist. Mit allgemeinen a und

b

kannst du den Nenner ja auch nicht sicher in 2 reelle Linearfaktoren zerlegen.
wenn du den nenner in Linearfaktoren zerlegen kannst , kannst du immer auch partialbruch anwenden, ob eine Substitution ein Integral vereinfacht, muss man einfach ausprobiern, im 1 würde mir keine einfallen!
Gruß ledum

pivot aktiv_icon

00:18 Uhr, 22.07.2018

Hallo,

ich würde den Empfehlungen folgen. Bei der ersten Aufgabe is der Nennergrad größer als der Zählergrad. Und die Nullstellen des Nenners sind offensichtlich. Dann bietet sich die Methode der Partialbruchzerlegung geradezu an.

Bei der zweiten Aufgabe kann man erkennen, dass der Zähler die zweifache Ableitung des Nenners ist. Im Prinzip sieht die zu integrierende Funktion so aus

f (t) = 2 \cdot \frac{g ʹ (t)}{g (t)}

.

Exkurs:
Der konstante Faktor 2 ist nicht so wichtig, da man ihn für die Integration an sich nicht braucht. Oder einfach vor das Integralsymbol schreiben.

Also man setzt also

g (t) = t^{2} + a t + b

. Nun die Ableitung von

g (t)

nach

t

ist

\frac{d g}{d t} = g^{ʹ} (t) = 2 t + a

Somit ist

d g = (2 t + a) d t

. Das kann man jetzt direkt einsetzen bzw. substituieren:

2 \cdot \int \frac{1}{g} d g

. Es gibt aber auch Fälle von Substitutionen (die große Mehrheit) bei denen der Zähler nicht einfach die Ableitung des Nenners ist. Das ist dann nicht mehr ganz so einfach. Aber das wirst du sicher noch kennen lernen.

Gruß

pivot

rundblick aktiv_icon

13:57 Uhr, 22.07.2018

.
"im ersten Fall gibt es keine Substitution die hilft,.."

\to

klar - die erste Aufgabe ist ein Musterbeispiel für Partialbruchzerlegung ..

\to

aber ledum,
wenn du nach deinem Motto "genau hinschauen" vorgehst,
dann siehst du sicher, dass dieses Beispiel auch mit
Substitution und dem Wissen über Grundintegrale gelöst werden kann :

\int \frac{t + 1}{t^{2} - 9} d t = \frac{1}{2} \cdot \int \frac{2 t}{t^{2} - 9} d t + \int \frac{1}{t^{2} - 3^{2}} d t

also siehe:

\to

das erste Integral mit Substitution

z = t^{2} - 9

\to

und das Zweite ist das Grundintegral vom Typ

\to \int \frac{1}{x^{2} - a^{2}} d x

( entweder Mann kennt es - oder frau schlägt nach in einer Formelsammlung)

Fazit: viele Wege können gelegentlich in Rom ankommen..
.

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