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was ist mit Projektion auf Ebene gemeint?

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Vektorräume

Tags: Vektorraum

ScientistSalarian aktiv_icon

20:11 Uhr, 30.10.2015

Hallo Leute

Ich habe hier ein kleines Matheproblem. Ich habe den Vektor gegeben

(\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})

Es ist nun danach gefragt dass ich die Länge dieses Vektors berrechnen soll (hab ich getan) und die Länge der Projektion des Vektors auf die xy-Ebene.
Ich habe keine AHnung wie ich das machen soll.
Ich hatte bei der Projektion mal was mit dem Gram-Schmidt-Verfahren und Orthonormalverfahren aber habe wirklich keine Ahnung wie ich bei dieser Art von Aufgabe rechnen soll

: (

Kann mir da jemand helfen? Ich kenne es nur mit der Prjektion eines Vektors an einem anderen Vektor und das war irgenfwie sowas wie

b = \frac{a \cdot b}{I a I} \cdot a

.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

rundblick aktiv_icon

20:43 Uhr, 30.10.2015

.
" und die Länge der Projektion des Vektors auf die xy-Ebene. "

wenn nichts anderes über die Projektionsrichtung ausgesagt ist,
kannst du ruhigen Gewissens davon ausgehen, dass die senkrechte
Projektion gemeint ist..

und damit ist die Länge dieser Projektion deines Vektors

\to \sqrt{10}

ok?

ScientistSalarian aktiv_icon

01:36 Uhr, 31.10.2015

Das wars? Ich meine, ich bin im 3. Semester und das ist Aufgabe aus der physikalsichen Chemie und erst das erste Übungsblatt und so, aber das ist ziemlich easy, danke :-)
Und wenn danach gefragt wird, "welcher Vektor in der xy-Ebene steht senkrecht auf Vektor a", das bedeutet wohl orthogonal, nehme ich an, dann mach ich das mit dem Skalarprodukt, also mit diesem Ansatz?

3 \cdot x 1 + 1 \cdot x 2 = 0

Aber das würde keinen Sinn egrebn, da ich ja nur eine Gleichung hab. Also kann ich da einfach einen Wert einsetzen? Also zB 2 für

x 1

und erhalte dann für

x 2 - 6

?
WÜrde damit die Aufgabenbedingung erfüllt?

Roman-22

10:53 Uhr, 31.10.2015

Es ist immer besser, die unveränderte Originalaufgabenstellung anzugeben. Möglicherweise kann dann der eine oder andere hier da noch eine Information rauslesen, die du nicht beachtet hast.
So wie du das bisher geschildert hast, ist es tatsächlich recht einfach.
Die Normalprojektion des Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})

auf die Grundrissebene

π_{1}

(xy-Ebene) ist

\vec{a'} = (\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

.
Es gilt

| \vec{a'} | = \sqrt{10}

und jeder Vektor

\vec{n}

parallel zu

π_{1},

der die Bauart

\vec{n} = λ \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - 3 \\ 0 \end{matrix})

hat, ist ein Normalvektor von

\vec{a'}

und, weil wir eine Normalprojektion unterstellt haben, damit auch ein Normalvektor von

\vec{a}

. Dabei gilt

λ \in ℝ \ {0}

>

WÜrde damit die Aufgabenbedingung erfüllt?
Dazu erlaube ich mir, ohne die Aufgabenstellung genau zu kennen, keine Aussage.
Gibt es einen einleitenden Text, der die zu betrachtende Situation etwas genauer beschreibt? Ansonsten ist es zweifelsohne ein Manko, nur von "Projektion auf die xy-Projektion" zu reden, denn deren gibt es viele und das Ergebnis ist immer ein anderes.
Steht in der Angabe zB tatsächlich Wort für Wort so wie du geschrieben hast, "welcher Vektor in der xy-Ebene steht senkrecht auf Vektor a" ? Die Formulierung ist etwas eigen, auch wenn vl als Antwort etwas in der Art "Jeder Vektor, der ...." erwartet wird. Oder steht dort vl etwas wie "Geben Sie einen Vektor an, der ...".

Nebenbei gesagt kann ein Vektor nie in einer Ebene liegen, sondern bestenfalls parallel dazu, denn ein Vektor ist ein ortsunabhängiges Konstrukt. Aber diesen faux pas leiste ich mir auch immer wieder ganz bewusst, weil sich manches damit (zwar fachlich formal falsch, aber) wesentlich kürzer, klarer und einfacher ausdrücken lässt.

R

ScientistSalarian aktiv_icon

11:01 Uhr, 31.10.2015

Anbei die originale Aufgabenstellung.

Roman-22

11:25 Uhr, 31.10.2015

Somit ist in der Tat der Aufgabensteller für die Schlampereien in der Formulierung verantwortlich und wir müssen uns darauf verlassen, dass er wohl schon "das Übliche" gemeint haben wird ;-)
Ärgerlich, kommt aber leider sehr häufig vor, dass Dozenten und Professoren bei ihren Fragestellungen nicht die nötige Sorgfalt walten lassen. Sorgfalt und Exaktheit, die sie dann aber üblicherweise bei der Beantwortung ihrer Fragen durchaus von ihren Studenten einfordern.
Das Leben ist eben ungerecht und wenn ich groß bin, dann mach ich alles anders - wirklich?

Verglichen mit dem, was man da oft zu sehen bekommt (auch hier im Forum), ist das vorliegende Beispiel noch eher sehr harmlos, die Formulierungsschwächen vielleicht sogar fast verzeihbar ;-)

R

ScientistSalarian aktiv_icon

11:37 Uhr, 31.10.2015

Jap, da zumal die Beziehungen zwischen "Ebenen" und Vektoren überhaupt nicht Bestandteil des Studiums bis jetzt war, daher hat mich der Begriff der Ebene schon verdutzt. Ich habe auch zunächst gedacht es würde hier auf die

x

,y-Ebene mit den Normalenvektor bzgl. des Einehitsvektor ex

= (1,0),

= (0,1)

Bezug genommen.

Roman-22

13:10 Uhr, 31.10.2015

Ich denke, auch wenn auf die xy-Ebene projiziert wird, bewegen wir uns dennoch noch immer im

ℝ^{3}

. Dafür ist auch ein Hinweise, dass gleich wieder in

π_{1}

ein Normalvektor zu

\vec{a}

gesucht wird.
Daher würde ich eher

e_{x} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

verwenden, etc.
Natürlich lässt sich die Aufgabe der Vektorprojektion auch komplizierter angehen, indem man ganz allgemein so vorgeht, wie man zB einen Vektor auf eine beliebige, durch zwei Spannvektoren gegebene "Ebene" projiziert. Dabei kann man sich

π_{1}

natürlich durch

e_{x}

und

e_{y}

aufgespannt denken.
Einfach die z-Komponente von

\vec{a}

Null setzen ist aber allemal bequemer ;-)

Wobei wir da natürlich, ohne dass dies gegeben wäre, von einer Parallelprojektion in z-Richtung ausgehen. Normalprojektion zu sagen wäre ja

u . U

. auch nicht ganz korrekt, denn wir wissen schließlich von der Angabe her auch nicht, ob es sich um ein kartesisches Koordinatensystem handelt. Hätten wir beispielsweise ein affines Koordinatensystem zugrunde gelegt, bei dem die z-Achse keinen rechten Winkel mit der xy-Ebene bildet, würde das Nullsetzen der z-Komponente immer noch einer Parallelprojektion in z-Richtung entsprechen, aber es wäre natürlich keine Normalprojektion mehr.
Man sieht, dass man beim Zerpflücken eines Angabetextes beliebig Rabulistik betreiben und jede implizite Annahme des Aufgabenstellers infrage stellen kann. Alle Voraussetzungen in die Angabe hineinzuwursten würde diese aber vermutlich für einen durchschnittlichen Studenten unlesbar machen.
Wie so oft im Leben ist hier also immer ein vernünftiges Mittelmaß an Exaktheit gefragt und jede Aufgabe immer im Kontext zB einer Vorlesung oder einer Kapitelüberschrift zu sehen. Ab einem gewissen Punkt wird durch mehr Exaktheit nicht mehr mehr Klarheit geschaffen und ab da wirds dann problematisch - jedenfalls im Ausbildungsbereich.

R

rundblick aktiv_icon

18:33 Uhr, 31.10.2015

.
"bedeutet wohl orthogonal, nehme ich an,
dann mach ich das mit dem Skalarprodukt, also mit diesem Ansatz?
3⋅x1+1⋅x2=0
Aber das würde keinen Sinn egrebn, .."

also zu der Aufgabe, Teil (b)

\to

du hast völlig richtig überlegt

\to

ein in der x-y-Ebene liegender Vektor , zB

\to \vec{c} = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ 0 \end{matrix})

ist senkrecht zu deinem gegebenen Vektor

\vec{a} = (\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})

wenn

\to \vec{a} \cdot \vec{c} = 0

also, wenn

\to 3 x_{1} + x_{2} = 0

gewiss ist nun die Frage->
"WELCHER Vektor in der x-y-Ebene ist senkrecht zu

\vec{a}

"
sagen wir mal -
etwas unsorgfältig formuliert,

da es nicht nur EINEN solchen Vektor gibt, sondern deren VIELE ..
(die sich in der Länge und der Orientierung unterscheiden können)

also:
natürlich gibt

\to 3 x_{1} + x_{2} = 0

deshalb SINN , da du nun (fast) frei eine Variable selbst festlegen
kannst und dann die dazu gehörende zweite Variable berechnest:

Beispiele

: \to

sei

\to x_{1} = 1 . .

. dann muss

x_{2} = - 3

sein ..

\Rightarrow \vec{c} = (\begin{matrix} 1 \\ - 3 \\ 0 \end{matrix})

sei

\to x_{1} = - 2 . .

. dann muss

x_{2} = 6

sein ..

\Rightarrow \vec{c} = (\begin{matrix} - 2 \\ 6 \\ 0 \end{matrix})

usw, usw,..

du kannst nun selbst nachprüfen, wie alle diese

\vec{c}

sich unterscheiden
und was sie alle gemeinsam haben ..
überzeuge dich dann selbst noch davon, dass jeder dieser

\vec{c}

die gestellte
Aufgabe erfüllt

ok?

ScientistSalarian aktiv_icon

11:00 Uhr, 01.11.2015

Alles klar, danke :-)

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